Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun

à chacun sont égaux ou supplémentaires i/fg' 4^ ^'4; )•

1** Considérons deux angles aigus ABC, DEF {fg, 46); le côté DE est perpendiculaire sur BA, et le côté EF est perpendiculaire sur BC : les deux angles considérés sont égaux.

En effet, si l'on fait tourner l'angle DEF tout d'une pièce d'un angle droit autour de son sommet E, le nouvel angle D EF', reproduction de DEF, aura ses côtés respectivement parallèles à Qeux de ABC : ED' et BA seront parallèles comme perpendiculaires à DE; EF' et BC seront parallèles comme perpendiculaires à EF. D'ailleurs» les angles ABC, B'EF', ayant

les côtés parallèles et étant tous les deux aigus, ne sauraient être supplémentaires : ils sont donc égaux; par suite, les angles Â3C, BEF, le sont aussi.

rig. 46 . • ^ I''!?- i7-

1* Si les deux angles comparés étaieÂr obtus, on démontre* nil de la même manière leur égalité.

3<» Considérons enfin deux angles d*espèce différente, c'està-dire l'un ABC aigu, l'autre DEF obtus {Jig, 47 > En prolon^ géant FE au delà du sommet E, on forme un angle DEF, qui est le supplément de DEF : cet angle DEF, esi donc aigu comme l'angle ABC; d'ailleurs, il a ses côtés respeciivomeni perpendiculaires à ceux de ABC. Les angles ABC et DEF, sont donc égaux et, par suite, les angles proposés ABC et DEF sont supplémentaires.

* EXERCICES

\ . Trouver le lieu géométrique des points situés à une distance donnée d'une droite donnée.

2. Un triangle quelconque est le quart de celui qu'on obtient en menant par chacun 5e ses sommets une parallèle au côté opposé. Chaque côté du nouveau triangle est le double du côté correspondant du triangle j)rimilif.

3. Si deux droites égales AB et CD, comprises entre deux parallèles AC et BD, se coupent en un point 0, on a AO = OC et OB = ÛD.

4. Si par le milieu D du côté AB d'un triangle ABC on mène une parallèle DE au côté BC, la droite DE passera par le milieu E do AC ot'sera égale à la moitié de BC. Réciproquement, la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et égale à sa moitié.

5. Trouver le lieu des milieux des portions de droites qui vqpt d'im point donné à une droite donnée.

6. Démontrer : i" que si iieux angles ont leurs côtés respectivement parallèles, leurs bissectrices sont parallèles ou per{)endiculaires entre elles; 9" que si deux angles ont leurs côtés respectivement i)er[)endiculaires, leurs bissectrices sont perpendiculaires ou parallèles entre elles.

LlfAE I. — LA UGN£ DROITE. 37

Paogbaiuib officiel : Somme des angles d'un triangle, d'un

polygone quelconque,

DÉFIMITIOKS.

71. On donne le npn de polygone à une portion de plan ABCDEF terminée de toutes parts par des lignes droites (fg- 48 ). Les portions de droites AB, BC, CD, D^, EF, FA,

Fig. 48. Fig. 49-

sont les côtés du polygone ; la somme de ces côtés forme le conlour,ou le périmètre du polygone; ce polygone a pour sommets les points A, B, C, D, E, F, et pour angles les angles ABC, BCI), CJ)E, DEF, etc., formés intérieurement par deux côtés consécutifs quelconques. Enfin, toute droite qui, comme AC ou BE, joint deux sommets noa consécutifs du polygone est une diagonale.

Le plus simple de tous les polygones est le triangle, qui n'a que trois côtés. Après lui viennent : le quadrilatère, qui a quatl^ côtés; le pentagone, qui a cinq côtés; Y hexagone, qui a six côtés. • .; V octogone, qui a huit côtés. . .; le décagone, qui a dix côtés...; le pentédécagone, qui a quinze côtés. La Jig, 4^ représente un hexagone.

72. Une ligne brisée ou polygonale est dite convexe lorsqu'elle tombe tout entière d'un même côté de chacune des droites qui la composent, prolongées indéfiniment. Tel est, par exemple, le polygone ABCDEF {/ig. 48). Le polygone ABCDE, au contraire {/ig, 49)» n'est pas convexe; car le côté DE, prolongé indéOniment, laisse le polygone ei^ partie au-dessus et en partie au-dessous de luL

38 GÉOMfiTRIE PLANE.

Une droite quelconque, tracée dan» le plan d'une ligne poly^ gowde convexe, ne peut la rencontrer en plus de deux points ^ car si une droite Xlf {Jig, 49) rencontrait la ligne polygonale AEDC en trois points Q, R, S, les points Q et S se trouvant de part et d'autre du, côté DE, la ligne AEDC ne serait pas tout entière d'un même côté par rapport à DE prolongé, C'esVà*dire qu'elle ne serait pas convexe.

THÉORÈME

73. La somme des angles d un triangle quelconque ABC est égale à deux angles droits {fig. 5o}.

Fie.io.