LIVRE I. — lA LIGNE DROITE. Sg

T7. Un angle quelconque d'un triangle est le supplément de la somme des deux autres. D'où il suit que si deux triangles A'B'C, ont deux angles égaux chacun à cliacun, A = A' et B =B% le troisième angle G du premier triangle est égal au troisième angle G' de l'autre. Il en résulte que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal et deux angles égaux chacun à chacun, que ces angles soient ou non ai^acents au côté égal.

78. Deux triangles ABC, A'B'C, qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun, ont leurs angles égaux chacun à chacun.

En effet, deux angles qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires étant égaux ou supplémentaires» on a

A = A' ou AH-A'=='i', B = B' ou B-i-B' = 2'', C = C' ou C-I-C' = îi«'.

On ne peut donc faire que les trois hypothèses suivantes :

a* A = A', B-hB'=2'', G-i-G'zsa'',

3* A = A', B=B', et par suite (77), C = C'.

Or, dans le premier cas, la somme dès angles des deux triangles vaudrait 6 angles droits ; dans le second cas, cette somme surpasserait 4 angles droits de la quantité A + A' = a A. La troisième combinaison est donc seule possible.

THÉORÈME

79. La somme des angles intérieurs itun polygone con^ vexe ABCDEF est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins deux {Jig. 5i).

En joignant l'un des sommets A à tous les sommets non adjacenls, on décompose le polygone en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux; car chaque triangle contient un seul côté du polygone, excepté les deux triangles extrêmes qui renferment chacun deux côtés de ce polygone. La somme des angles du polygone est égale à celle des angles de tous

4o GÉOMÉTRIE PLANE.

ces triangles ; elle vaut donc autant de fois deux angles droits qu'il y a de triangles, c'est-à-dire autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins deux.

ScOLlB.

80. Si l'on désigne par n le nombre des côtés du polygone, la somme des angles aura pour expression, en prenant l'angle droit pour unité,

— a) ou 2ii~4«

On peut donc dire que la somme des angles d'un polygone s'obtient en doublant le nombre des côtés et en retranchant 4

Fig.Si. Fig.Sa.

du résultat^ l'angle droit étant toujours pris pour unité.

Si l'on fait dans cette formule n^ :\, on trouve 4 pour la somme cherchée* La somme des angles d'un quadrilatère esi donc égale à quatre an^es droits; d'où il suit que ii un quadrilatère a tous ses an^s égaux, chacun de ces angles est droit.

Corollaire.

81. £a somme des ani^les qu'on forme à Vextérieur d'un polygone convexe, en prolongeant successivement ses côtés dans le même sens, est égale à quff^re angles droits [fig.

En effet, la somme d'un angle extérieur quelconque NAG

et de l'angle intérieur adjacent FAB est égale à deux angles droits; donc, la somme des angles, lani itiicrieurs qu'extérieurs, du polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de sommets ou de côtés. Celte somme surpasse donc de quatre angles droits (80) la somme des angles inicrieurs : en d'autres termes, la somme des angles extérieurs est égale à quatre angles droits.

LiVBE 1. — LA LIGNE DU01L£. 4'

EXEUCIŒS.

1. Tonte ligne polygonale convexe est momâre qne toute ligne polygonale enveloppante.

2. Un polygone convexe ne peut avoir plusde trois angles intérienrsaigus. f

3. Étant donnés un triangle ABC et un point 0 pris dans son intérieur, démontrer que Tangle 60G est toujours plus grand que Tangle BAC du triangle.

4. Un angle d*un triangle est droit, aigu ou obtus, suivant que la médiane issue du sommet de cet angle est égale, supérieure ou inférieure à la moitié du cété opposé. Réciproques.

5. L'angle formé par la bissectrice de l'angle A d'un triangle ABC et | par la perpendiculaire menée du sommet A sur le côté BC, est égal à la demi-différênce des angles B et C.

6. Les bissectrices des ttm angles d'un triangle concourent en un i même point. La bissectrice de l'un des angles et celles des suppléments *

. des deux autres angles concourent aussi en un même point.

7. Les perpendiculaires élevées sur les milieux des cétés d'un triangle concourent en un même point.

8. Les tnns hauteurs d'un triangle (c'est-à-dire les perpendiculaires abaisséesdes sommets sur les côtés opposés) concourent en un même point.

9. Les trois médianes d'un triangle concourent en un même point, ntué au tiers de chacune d'elles à partir du côté correspondant. A un plus grand côté correspond une plus petite médiane.

10. Dans un triangle, le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des côt^, le point de concours des trois médianes et celui des trois hauteurs sont en ligne droite, -ei la distance do premier point au second est moitié de la distance du second point au troisième.

11. Si l'on mène les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle ABC, les trois triangles partiels et le triangle total qu'elles détermineni autour du triangle donné sont équiangles. Chaque angle du triangle ABC a pour supplément le double de l'angle qui lui est opposé dans le triangle total.

42. Dans un triangle ABC on mène, jusqu'au côté BC,*une droite AD fidsant avec le côté AB un angle égal à l'angle C et une droite AE ^sant avec le côté AC un angle égal à l'angle B. Démontrer que le triangle DAE est isocèle.

13. Dans un triangle rectangle, si l'un des angles aigus est double de l'autre, l'hypoténuse est double du plus petit côté. Réciproque.

14. L'angle des bissectrices de deux angles consécoUfe d'un quadrilatère convexe est égal à la demi-somme des deux autres angles du quadrilatère. L'angle des bissectrices de deux ^ogl^s opposés est égal à la demi-différence des deux uutres angles.

4a fiÉOMÉTRI£ PLANS.