P^rmi les quadrilatères, on distingue

i"* Le parallélogramme (Jig, 53), qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux ;

a* Le rectangle (fig. 54 qui a tous ses angles égaux entre eux : il résulte du n** 80 que les quatre angles d'un rectangle sont droits;

Le losange (fig, 55), qui a tous ses côtés égaux entre

Fig. 53. FIg. 54. Fip. 55.

eux : nous démontrerons dans ce paragraphe que le rectangle

et le losange sont des parallélogrammes ;

4" Le carré [Jig. 56), qui a ses cotés égaux et ses angles égaux : le carré est a la fuis un losange et un re( langle ;

5" Le trapèze [Jig. 5'] ), dont deux côtés opposés seulement sont parallèles. Le trapèze est rectangle lorsrju'un de ses côtés non parallèles est perpendiculaire sur les deux côtés parallèles ; il est isocèle lorsque ses deux cotés non parallèles sont égaux.

THÉORÈME

' 83. Dans tout parallélogramme :

I** Les côtés opposés sont égaux deux à deux;

a** Les angles opposés sontégaux deux à deux:

3* Les diagonales se coupent mutuellement en deux parties

égales*

Lim I. — LA LIGNE DEOITB. 4^.

Soit le parallélogramme ABCD (fig, 58 ).

i<* Deux côtés opposés quelconques AB et CD, par exemple, sont égaux entre eux; car ce sont, par hypothèse, deux droites

Fig. 58.

parallèles comprises entre deux autres droites parallèles AD

etBC(67).

2° Deux angles opposés quelconques, DAB et BCD, par exemple, sont égaux entre eux; car ils sont formés par des côtés parallèles deux à deux et de sens contraires (09). AB et CD sont en effet parallèles et de sens contraire, et il en est de même de AD et de CB.

3® Chacune des diagonales AC et BD est coupée par l'autre, au point 0, en deux parties égales. En effet, les deux triangles AOB, DOC, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : le côté AB égal au côté DC, comme côtés opposés du parallélogramme; l'angle OAB égal à l'angle OCD, comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CD coupées par AG ; et l'angle OBA égal à l'angle ODC, comme ajternes^ hitemes par rapport aux mêmes parallèles coupées par BD.* Les triangles AOB, DOC, sont donc égaux. Par suite, le côté OB, opposé à l'angle OAB, est égal au côté OD opposé à l'angle OCD, et le côté OA opposé à l'angle OBA est égal au côté OC op* posé à l'angle ODÇ.

THËOBÈHB.

84. Uîi quadrilatère est un parallélogramme : 1° Si ses côtés opposés sont égaux deux à deux; 2° Si ses angles opposés sont égaux deux à deux; 3° Si deux côtés opposés sicmt à la fois égaux et parallèles t 4** Si ses diagonales se ooupesU'muiueilement en deux parties égales.

Soit le quadrilatère ABCD {Jîg, 59}.

i*" Menons la diagonale AC. Les deux triangles ABC, ADC, sont égaux comme ayant les trois côtés égaux, savoir : AC commun, AB et CD égaux entre eux par hypotiièse, ainsi que AD

et BC. Par suite, l'angle BAC opposé à BC est égal à l'angle AGI) opposé à AD ; et comme ces angles occupent, par rapport aux

Fifi. '>9. Fig. 60.

deux droites ÂB et CD et à la sécante AC, la position d*a1temes-internes, les deux côtés AB et CD sont parallèles (Ci). De même, l'égalilé des angles BCA et CAD entraîne le parallélisme des deux autres côtés AD et BC. Donc, le (juadrilatère ABCD ayant ses cotés opposés parallèles deux à deux est un parallélograninic.

1" Les an^^les opposés A et C étant égaux entre eux, ainsi que les angles B et D {Jîg. 60), on voit que deux angles consécutifs quelconques, B et C par exemple, ont une somme égale à la moitié de la somme des angles du quadrilatère, c'est-à-dire à deux droits. Ces deux angles B et C étant supplémentaires, et, de plu^ intérieurs d'un même côté par rap* port aux deux droites AB et CD coupées par BC, ces mêmes droites sont parallèles (64>). On démontrerait de même que, les angles A et B étant supplémentaires, les deux autres côtés opposés, AD et BC, sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.

3* Soient ABet CD les deux côtés opposés que Ton suppose égaux et parallèles {Jif;. 59). En menant it -diagonale AC, on forme deux triangles ABC, ADC, qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir: l'angle BAC égal à l'angle ACD, comme alternes-internes {)ar rapport aux parallèles AB et CD coupées par AC; le colé AB égal au côté CD par hypothèse, et le côté AC commun. De l'égalité des triangles ABC, ADC, résulte celle des angles ACB et CAD; et comme ces angles sont alternes-internes par rapport aux deux droites AD et BC coupées par AC, ces mêmes droites sont parallèles. Le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme.

4" Puisqu'on suppose OA = OC et OB = OD O^. 58). les angles AOB etCOD étant d'ailleurs opposés par le sommet, les

UYBB I. — LA LIGKB DROITÉ. • 4^

deux triangles ÀOB, COD, sont égaux (33); Donc, l'angle OAB est égal à l'angle OCD. D'ailleurs, ces angles étant alternesinternes par rapport aux droites Afi et CD coupées par AC, les côtés opposés ÂB et CD. sont parallèles. De l'égalité des triangles AOD, BOG» on déduirait pareillement l'égalité des angles OAD, OCB, et, par suite, le parallélisme des deux autres côtés opposes AD etBC. Le quadrilatère ABCI), nyantsos cùlés opposés parallèles deux à deux, est donc un parallélogramme.

SCOLIB.

85. Tout rectangle est un parallélogramme dont les diagofuUes sont égales [Jig, 6i).

D'abord, tout rectangle est un parallélogramme, puisque ses angles opposés sont égaux (84, a'). En second lieu, les deux

Fig. 6i. Fig.6a.

triangles DAB, CBA, par exemple, sont égaux comme a^ant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir: l'angle droit DAB égal à l'angle droit CBA, le côté AB commun, et le côté AD égal au côléBC, comme côtés opposés d'un porallclogramme; donc, les diagonales AC cl Bl), hypoténuses des triangles rectangles égaux DAB, CBA, sont égales. u

86. Tout losange est un parallélogramme dont les diagonales sont: I** perpendiculaires l'une sur Vautre,* a* bissectrices des angles opposés [fig- 62 J.

D'abord, tout losange est un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont égaux (84, 1°).

En second lieu, les triangles ABC et ADC étant isocèles, puisque les^ quatre côtés d'un losange sont égaux, la diagonale BD, qui passe par le milieu 0 de la diagonale AC, esta la fois perpendiculaire sur AC et bissectrice des angles B etD (37). Pour une raison analogue, la diagonale AC est bissectrice des angles A et C.

87. Tout carré est un parallélogramme dont les diagonales sont égales^ perpendiculaires entre elles et bissectrices des an~ gles opposés,

EXERQGES.

) . Tout parallélogramme dont lea diagonales sont égales est un rectangle.

2. Tout parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires entre elles, ou dont l'une des diagonales est bissectrice des angles dont elle unit les sommets, est un losange.

3. Tout parallélogramme dont les diagonales sont égales et perpendiculaires entre elles, ou bien dont les diagonales sont égales, l'une d'elles étant la bissectrice des angles dont elle unit les sommets, est un carré.

4. Deux quadrilatères convexes sont égaux, lorsqu'ils ont un angle égal et leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la même manière. Énoncer le théorème correspondant pour le cas de deux parallélogrammes, de deux rectangles, de deux losanges, de deux carrés.

5. Deux trapèzes sont égaux lorsqu'ils ont leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la même manière.

6. Toute droite comprise entre deux côtés opposés d'un parallélogramme et passant par le point d'intersection de ses diagonales (ou par • le centre de ce parallélogramme) : i* est divisée par ce point en deux parties égales; 2* divise le parallélogramme en deux quadrilatères égaux.

7. Tout quadrilatère est la moitié du parallébgramme que l'on obtient en menant par les extrémités de chaque diagonale des parallèles à l'autre diagonale. Déduire de ce. théorème que deux quadrilatères ont. même surfiice lorsque leurs diagonales sont respectivement égales et se coupent sous le même ançle.

é. Les drdtes qui joignent successivement les milieux des côtés d'un quadrilatère forment un parallélogramme.

9. En divisant arbitrairement, mais de la môme manière, les côtés d'un carré, et en joignant successivement les points de division, on forme un nouveau carré inscrit dans le premier.

40. Si, par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle, on mène des parallèles aux deux autres côtés, on forme un parallélogramme dont le périmètre est constant.

W. Démontrer que, dans tout trapèze isocèle, les angles opposés sont supplémentaires.

UVRE l, — Ul UGNS DIOITB. 4?

fVfiSVlÔlVS PROPOSÉES