SUR LE PREM1£R LIVRE

1. Si>'par le point d'ÎDtersection I des bissectrices des angles B et C

d'un triangle ÂBC, on mène entre les côtés de Tangle  la (tarallèle DIE à BC, la droite DE sera égale à la Bomme de BD et de CE. Si, par le point d'intersection 1' de la bissectrice de l'angle B et de celle du supplément de l'angle C, on mène entre les côtés de l'angle A ou de son opposé par le sommet la parallèle DTË' à Bp,.la droite D'£' sera égale à la différence de BD' et de CE'.

2. Des extrémités À et B et du milieu C d'une droite AB, on mène des perpendiculaires AA', BB', CC, sur une droite indéfinie XY. Démontrer que le point C est le milieu de A'B', et que la pcrpendicuhiirn CC est égale à la demi-somme ou à la demi-différence des pprp;'ndiculaires AA' et BB', suivant que les points A et B sont situés d'un même côté ou de part et d'autre de XY.

3. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés est constante. Qu'arrive-t-il lorsque le point considéré est pris sur le prolongement de la basent

4. Trouver le lieu géométrique des points dont la somme ou la différence des distances à deux droites fixes est constamment égaie à une longueur donnée.

5. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un triangle équilatéral à ses trois côtés est constante. Qu'arrive-t-il lorsque le ^int oonsidéré est extérieur au triangle?

6. AD et BC étant deux parallèles coupées obliquement par AB et perpendiculairement par AG, on mène entre ces deux parallèles la droite BED qui coupe AC en E, de manière que ED = aAB : démontrer que l'angle DBG est le tiers de l'angle ABC.

7. Dans un triangle ABC, on prend sur le côté AB et sur son prolongement AD = AE = AC, puis on joint le sommet C aux points D et E. Démontrer que l'angle Ë est la moitié de l'angle A du triangle ABC, et .que Tangle DCE est droit

8. Étant donné un parallélogramme ABCD, on ])rend en sens inverse, sur les côtés opposés AB, CD, deux longueurs AE et CF, arbitraires, mais égales; de môme, sur les côlés opposés AD, BC, on prend en sens inverse les longueurs arbitraires AH = CG. Démontrer : i° que la figure EGFH est un parallélogramme inscrit dans le parallélogramme proposé; 2° que le centre du parallélogramme proposé est en môme temps celui de tous les parallélogrammes qu'on peut y inscrire.

9. Le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposj^s d'un quadrilatère quelconque est le mibeu de la droite qui unit les milieux des diagonales de ce quadrilatère.

10. Les bissectrices des angles d'un quadrilatère convexe forment un second quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires. Lorsque le premier quadrilatère est un parallélogramme, le second est un rectangle dont les diagonales sont parallèles aux côtés du parallélo.grammo et égales à la diiïérence de ses cùlés adjacents. Lorsque le premier quadrilatère est un rectangle, le second est un carré.

11. ABC étant un triangle rectangle et ABDM, ACEN, étant les carrés construits sur les côtés AB et AC de l'ongle droit, des sommets D et E, opposés au sommet A, on abaisse des perpendiculaires DF, KG, sur I hypolénuse BC prolongée. Démontrer ; i" que riiypotéruise BC est égale à la somme des perpendiculaires DF et EG; -2° que le triangle proposé ABC est la somme des triangles DFB, CEG.

12. Dans tout trapèze, les quatre points, milieux des deux côtés non parallèles et des deux diagonales, sont sur une même droite parallèle aux deux bases du trapèze; la distance des points extrêmes est égale à la demi-somme de ces bases; la distance des points intermédiaires est égale à leur demi-diflérence.

43. Sur un billard rectangulaire, dans quelle direction faut-il lancer la bille pour qu'elle revienne au point de départ après avoir frappé successivement les quatre côtés? Quelle est la longueur du chemin parcouru alors par la bille? (On admet que lorsque la bille frappe une bande, les deux droites qu'elle suit, avant et a|iràB le choc, sont élément inclinées sur 1#. bande.)

14. ÂBCD étant un parallélogramme, £ et F étant les milieux des côtés opposés AB et CD, les droites BP et DE divisent la diagonale ÀC en trois parties égales.

15. Étant donnés deux parallèles XY, X'Y', et deux points A et B situés hors de ces parallèles et de côtés différents, on demande de trouver le plus court chemin de  en B, par une ligne brisée ÂMNB telle, que la portion MN comprise entre les deux parallèles ait une direction donnée.

UVM II. ~ LA CimOOHVÉïniGV DB CSKCLB. 49