LIVRE II. — L\ CIRCONFÉRENCE PB CERCLE. O'J
CD (43), et inversement, la tangente CD est perpendiculaire au point A sur le rayon OA.
Corollaires.
105. Par un point h,d*une circonférence 0» on peut toujours mener une tamgeme à cette courbe, et on ne peut en mener qu'une, * * *^jti^
106. Toute tangente est parallèle aux cordes que le diamètre mené au point de contact divise en deux parties égales (9^).
ScOLlE.
107. On peut considérer la tangente AG en un point A d'une circonférence (fig»GQ)t comme la position limite d'une sé' eanffi AB issue du point A, lorsque cette sécante tourne autour de A de manière que le second point d'intenecUon B vienne se confondre avec le premier. Car» au moment où les deux points d'intersection B et A sont ainsi réunis en un seul, la droite AC n'a plus qu'un point commun avec la circonférence.
Cette nouvelle définition de la tangente est applicable à toutes les courbes. D'ailleurs, nous verrons plus tard qu'outre sa généralité, cette définition a sur celle du n*' 102 l'avantage de meure en lumière l'intime corrélation de certains théorèmes qui sembleraient sans cela tout à fait distincts.
On dit qu'une courbe ou qu'un arc de courbe est convexe, lorsque cette courbe ou cet arc tombe entièrement d'un même côté de chacune de ses tangentes (72). Il résulte dun° 103 que la circonférence de cercle est une courbe convexe.
Nous avons vu au n® 91 qu'une droite quelconque ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points. Tout arc de courbe convexe jouit de la même propriété; car si une droite coupait cet arc en trois points, le premier et le dernier point seraient situés de part et d'autre de la tangente au point intermédiaire»
THÉORÈME
108. Deux parallèles interceptent sur la circonférence des arcs égaux.
Il faut distinguer trois cas :
i** Supposons (^g-. 70) que les parallèles AB, CD, soient sé-
Fig. 70. Fig. 71. FifF. 72.
canles, ei abaissons du centre 0 sur ces droites la perpendiculaire commune OM qui coupe la circonférence en M. Le point M est (98) à la fois le milieu de l'arc EMF que souslend la corde EF, et le milieu de l'arc GMU que sous-iend la corde GU; on a donc
arc EM = arc FM, arc GM = arc IIM,
d'où, en sousiriqfiiit membre à membre,
arc £Bf — arc GM = arp FM — nrc HII^
e'est-à<lire
arcEG=s=arcVH.
a* Supposons {fig.'ji) que les parallèles AB et CD soient l'une sécante et l'autre tangente. Alors le rayon OK qui aboutit au point de contact est (98, 104) une perpendiculaire commune à la tangente CD et à la corde El' qui lui est parallèle; il divise donc l'arc EKF, sous-tendu par cette corde, en deux parties égaies, et Ton a
arcEK^arcFK.
3« Supposons enfin [fig. 72) que les deux parallèles AB et CD soient tangentes, l'une en I et l'autre en K. Les deux rayons 01 et OK, respectivement perpendiculaires à AB et à CD, seront dans le prolongement l'un de l'autre, puisque des droites parallèles ont leurs perpendiculaires communes. Les deux arcs KPI, KQI, sont donc égaux l'un etj'autre à une demicirconférence.
LIVAE II. — LA CiaCOMFÉRBMCE DE CERCLE. 5g
THÉORÈME
100. Par trois points A, h, C, non situés en ligne droite, on peut toujours faire passer une circonférence, et on ne peut en faire passer qu'une {fig. 73).
Il s'agit de prouver qu'il existe un point, et un seul, situé à la même distance des trois points donnés A, B, C.
Or, tout point équidistant de A, B, C, doit se trouver sur la perpendiculaire DE élevée sur le milieu de AB, parce qu'elle est le lieu des points équidistanls de A et de B; il doit aussi appartenir à la perpendiculaire FG élevée sur le milieu de BC, parce qu'elle est le lieu des points équidislants de B et de C. Gomme deux droites D£, FG, ne peuvent avoîjcqu'un .point commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais eâkeiÀ^u'un seul point équidistant des points A, 6, C. £n second tieu, un tel point existe toujours si, conformément à notre hypothèse, les points A, B, G, ne sont pas en ligne droite ; car, les deux droites AB etBG se coupant, les droites DB et FG qui leur sont respectivement perpendiculaires doivent se rencontrer en un ceruin point 0 (66, 2<>).
Le cercle décrit de ce point 0 comme centre, avec l'une des trois droites égales OA, OB, OC, pour rayon, passe par les points A, B, G, et est le seul qui puisse y passer.
On énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide eu disant : Trois points, non en li^ne droite, déterminent une circonférence,
CoaOLLÂlBX.
no. Deux circonférences ne peuvent avoir trois points communs sans coïncider; d'où il suit que deux circonférences distinctes ne peuvent avoir plus de deux points communs.
6o GÉOMÉTRIE PLANE.
Lorsque deux circonférences ont deux points communs, on dit qu'elles se coupent ou qu'elles sont sécantes.
Lorsque deux circonférences n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes ; le point commun es^^ippelé point de contact»
THÉORËUB.
111. Lorsque deux circonférences se coupent, ladmiteQÇy qui joint leurs centres est perpendiculaire sur la corde commune AB et divise cette corde en deux parties égales\Jig, 74 )•
Fig. 74. Fig. 75.
En effet, la perpendiculaire élevée sur la corde commune AB par son milieu I doit passer par le centre de chacune des deux cire(ttiféreiii^s O et (y (d8).
€0R0LI.A1RB.
112. Supposons que la circonférence 0 restant lixe, ainsi que le point A, la circonférence 0' tourne autour du point A, de manière que le second point d'intersection B se rapproche de plus en plus du premier et vienne à la limite se confondre avec lui comme dans la fig, 76. Les deux circonférences n'ayant plus alors qu'un point commun A seront tangentes en ce point. D'ailleurs» la droite 00' passant toujours entre A et B» ces deux points ne peuvent se réunir que sur la ligne des centres 00'. £nûn, en vertu de ce mouvement ,(107)> la corde commune devient à la limite tangente en A à chacune des deux circonférences. Donc,
Lorsque deux circonférences 0 et 0' sont tangentes^ leur point de contact A est situé sur la droite des centres, et la perpendiculaire CD élevée en ce point sur cette droite est une tan fiente commune aux deux circonférences.
On appelle angle de deux courbes qui ont un point commun, l'angle formé par les tangentes à ces deux courbes en ce point.
UTBB II. — IUL CnCONFtRENGB VE GBRCLI. 6i
Si cet aDgle n'est pas nul» on dit que les deux courl)es se coupent. S'il est nul» c'est-à-dire si les deux courbes ont la même ' tangente au point commun» on dit que ces courbes sont tangentes. On appelle orthogonales deux courbes qui se coupent à angle droit.
SCOUB.
113. Deux circonférences distinctes peuvent avoir deux points communs, c'esi-à-dire se couper (^g^. 78); ou avoir un seul point commun, c'est-à-dire être tangentes, soit extérieurement {fig. 77), soit intérieurement {Jig- 79); ou enfin n'avoir aucun point commun, c'est-à-dire être extérieures {Jig. 76) ou intérieures {Jig. 80) l'une à l'autre. Leurs positions relatives sont donc au nombre de cinq.
THÉORÈME
114. t* Si deux eireonférenoes 0 et (y sont extérieures^ la distance des centres est plus grande que la somme des rayons;
a** Si elles sont tangentes extérieurement, la distance des centres est égale à la somme des rayons;
3** Si elles se coupent, la distance des centres est à la fois moindre que la somme et plus grande que la différence des rayons;
4® Si elles sont tangentes intérieurement j la dislance des centres est égale à la différence des rayons;
5° Si elles sont intérieures, la distance des centres est» moindre qu^ la différence des rayons.
"Esk effet:
I* A et A' [fi g. 76) étant les points où la ligne des centres
Fig. 76. Fig. 77.
coupe les deux circonférences, on a
O0' = OA-|-AA'H-<yA' ou 00'>OA + 0'A'.
6a OÉOMtTRn plans.
7? Le point de contact A (fig. 77 ) est situé entre les deux centres et sur la droite OCK qui les joint. Oh a donc
00' = OAh-0'A.
30 Les deux points communs {Jig. 78) étant situés hors de
la ligne des centres (111 ), en joignant Tun d'eux B aux deux centres, on forme un triangle dans lequel on a (27, 28)
00'<OBh-0'B et 00'>OB-0'B.
4° Le point de contact A {fig, 79) est situé au |lelà des deux
Fig.78. Fig.79. Fig.80.
centres et sur la droite qui les joint. On a donc
OA = 00'-*-0'A, d'où 00^ = 0A — O'A.
5* A et A' [Jîg. 80) étant les points où la droite 00' coupe les deux circonférences, on a
OA = 00'+0'A'-hA'A, d'où OA>00'-hO'A',
c'est-à-dire
Corollaire.
115. A chacune des cinq hypothèses faites répond une conclusion distincte. Donc, en vertu du priiicijte général du n" 39, les réciproques des propositions précédentes sont toutesvraies. Voici leurs énoncés :
i" Si la distance des centres est plus grande que la somme des rayons, les deux circonférences données sont extérieures tune à t autre;
2*" Si la distance des centres est égale à la somme des rayons, les deux circonférences sont tangentes extérieurement;
3^ Si la distance des centres est à la fois moindre que la somme et plus grande que la différence des rayons, les deux circonférences se coupent g
L1TBB II. — LA GIKOONFÉlinrCB I»B GB1ICLB. 63
4** Si la distance des centres est égale à la différence des rayons, les deux circonférences sont tangentes intérieurement;
5° Si la distance des centres est moindre que la différence des rayons, les deux circonférences sont intérieures l'une à l'autre,
Ainsi, connaissant les trois nombres D, R, r, qui mesurent respectivement la distance des centres et les rayons de deux circonférences, on peut, sans tracer ces circonférences et pnr une simple opération numérique, savoir quelle est leur position relative. Par exemple, si l'on a D = iS", R = 21"*, r= G™, on peut affirmer que les deux circonférences sont langenies imérieurement; car on a i5 = 21 — 6, ou D = R — r.
EXERGCES.
Retrcmver la propriété caractéristique de la tangente au cercle, en partant de la déEnition du n« iOT.
S. La plus petite et la plus grande des droites qu'on peut mener entre deux circonférences, passent par les centres de ces circonférences.
3. Si deux cordos AB et CD se coupent dans un cercle, la somnQe AC + BD des arcs qu'elles interceptent est égale à la somme des arcs interceptés par les deux diamètres parallèles à ces cordes.
4. Un cercle étant donné, combien faut*il de cercles de même rayon pour l'entourer?
5. Parmi les sécantes qui passent par l'un des points d'intersection de doux circonférences données, quelle est celle pour laquelle la longueur comprise entre les deux circonférences est maximum?
6. AB étant un diamètre fixe d'un cercle, et CD une corde parallèle à ce diamètre, on mène CB et DA qui se coupent en M, puis CA et I)B qui se coupent en N. Trouver le lieu des points M et N quand la corde CD se
' déplace parallèlement à elle-même.
' 7. Si deux circonférences égales se coupent orthogonalement, la corde ^ commune est égale à la distance des centres.
8. On donne un cercle de centre 0 et de rayon R, et un point extérieur A. Du point A comme centre, avec OA pour rayon, on décrit un arc BOC, et du point 0 comme centre avec il\ pour rayon, on décrit un nouvel arc qui coupe le précédent en B et en C. On mené OU et OC. qui rencontrent respectivement en E et en D la circonférence primitive. Démontrer que A£ et ÂD sont tangentes à cette circonférence.
64 GtOHiTBIB PLANS.
Programiib opficibl : Mesure des angles. — Angle inscrit,
IfOTlONS Pa£UMIKAlRBS.
116. On acquiert la notion du nombre entier en considérani des objets distincts et semblables. Nous allons expliquer comment le problème de la mesure des grandeurs conduit à étendre cette première idée.
On ne considère, en mathématiques, que les grandeurs dont on peut déflnir d'une manière précise l'égaliié et l'addition f tels sont, par exemple» les angles : nous avons dit en effet, au
9, ce qu'on entend par angles égaux et par somme de deux angles. Une grandeur est plus grande qu'une autre quand elle est la somme de cette autre et d'une troisième de même nature.
Lorsqu'une grandeur est la somme de 2, 3, 4>-* ■> parties, égales 4 une autre grandeur de même espèce, on* dit que la première est un multiple de la seconde, et que la seconde est une partie aliquote de la première.
Deux grandeurs sont dites commensurables entre elles lorsqu'elles sont des multiples d'une troisième grandeur qu'on appelle alors leur commune mesure; dans le cas contraire, elles sont incommensurables entre elles.
117. Pour mesurer une grandeur, on cherche une commune mesure entre cette grandeur et une- autre de même espèce, arbitraire, mais bien connue, et qui reçoit le nom d'unité.
Si cette commune mesure est l'unité elle-même, et que la grandeur proposée la contienne, par exemple, 3 fois sans reste, on dit que la grandeur est mesurée par le nombre entier 3.
Si celte commune mesure est une partie aliquote de l'unité; par exemple, si, l'unité étant partagée en cinq parties égales, h grandeur proposée est la somme de trois de ces parties, on dit que cette grandeur est les trois cinquièmes de l'unité et qu'elle est mesurée par le nombre trois cinquièmes, que Ton
écrit >• On qualifie d'ailleurs un tel nombre de fractionnaire
LIVBB II. — LA aRCONFÊRENCE DE CBRGLB. 65
pour le distinguer des nombres entiers seuls considérés jusque-là.
En résumé, mesurer une grandeur commenturable avee i'uniié, c'est chercher combien cette grandeur renferme d'unité^ ou de parties aliquotes de l'unité. Suivant que la grandeur est un multiple de Tunité ou un multiple d'une partie aliquote de Tuttité, ie nombre qui exprime sa mesure est enFtier ou fractionnenre. 'Réciproquement t toute grandeur mesurée par un nombre entier ou fraetionnaire est commensurable avec Tunité, car elle est un multiple de l'unité ou d'une partie aliquoie de runilé(*).
118. On nomme rapport d'une grandeur A à une grandeur B de même espèce le nombre par lequel il faut multiplier la
seconde pour avoir la première. On désigne ce rapport par 4*
119. Le rapport de deux grandeurs A. et B de même espèce est égal au nombre qui mesure la première lorsqu'on prend la seconde pour Unité,
En effety si le rapport donné est, par exemple» g> la pre-
mière grandeur est le produit de la seconde par ^ (118);
mais multiplier une grandeur par ^9 c'est en prendre les g*
La première grandeur est donc les ^ de la seconde » et» par
suite (117), ^ est le nombre qui mesure la première grandeur
lorsqu'on prend la seconde pour unité.
120. Il résulte de là que lorsque deux grandeurs kefB ont été mesurées avec une même unité C, on obtient leur rapport en divisant le nombre a qui mesure la première par le nom-*
bre 6 qui mesure la seconde»
En effet, on a, d'après le théorème précédent, les deux re-
i * ) Fôir la Nota I pour le «u où U gnadeur ett ineomoiensanible avec l'anité.
66 g£ométrib plakb.
lalions
A=G. a, B = C.6, d'où G=|) ei, par suite,
Le quotient exprime donc (118) le rapport de A à B.
On osi ainsi conduit à appeler rapport de deux nombres quelconques a et 6 le quotient de leur division; et l'on démontre en Arithmétique que les règles de calcul des fractions à termes entiers sont applicables à ces rapports ou fractions
générales ^* Par exemple, on n'altère pas ces rapports en
multipliant leurs deux termes par un même nombre; on les multiplie en les multipliant terme à terme, etc.
121. Lorsque deux grandeurs de nature différente ont une dépendance telle, que le rapport de deux valeurs quelconques
de la première soit égal au rajipuri des valeurs correspondantes de la seconde, on dit que ces deux grandeurs sont proporlionne lies,
lâ2. On nomme angte au centre tout angle qui a son sommet au centre d'un cercle» et angle inscrit tout angle formé par deux cordes qui se coupent sur la circonférence d'un cercle.
THÉORÈBIE.
i23. Dans le même cercle ou dans des cercles égaux : 1" Deux angles au centre égaux interceptent des arcs égaux;
2? Si un angle au centre est la somme de deux autres angles
Fig. 8i.
au centre, Varc intercepté par cet angle est la somme des arcs interceptés par les deux autres {fig* 8i )•
