Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC

On dit qu'un polygone est circonscrit à un cercle lorsque chacun de ses côtés est tangent à la circonférence; le cercle est alors inscrit dans le polygone.

Cela posé» soit ABC (fig. ii3) le triangle proposé dans lo-

ng. ii3.

quel il faut inscrire un cercle. Supposons le problème résolu. La droite AO» qui joint le centre du cercle cherché au point de rencontre A des deux tangentes AD et AE, est» d'après le problème précédent, la bissectrice de l'angle A du triangle. On YOit de même que le point 0 doit encore sè trouver sur les bissectrices BO» CO, des angles B et C. D'après cela» on mènera deux de ces bissectrices, et de leur intersection 0 comme centre» avec une ouverture de compas égale à la longueur

94 GtOMÊTUV PLANS.

commune des perpendiculaires OD, OE, OF, abaissées de ce point sur les côiés, on décrira une circonférence qui touchera en J>, les côtés du triangle donné.

SCOUE.

160. 11 résulte de cette démonsirniiou que les bissectrices des trois angles d'un triangle concourent en un m«'me point. On voit d'une manière analogue que les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle ABC {Jig, ii4) forment un second

Fig. 114.

triangle 0'0"0"' dont les sommets sont situés sur les bissectrices des angles intérieurs. Chacun de ces sommets est le centre d'un cercle ex-inscrit, c'est-à-dire d'un cercle tangent à l'un des côtés du triangle et aux prolongements des deux autres côtés. Il existe donc, en général, quatre circonférences tangentes à trois droites données.

PROBLÈME

161. Décrire sur une droite donnée AB un segment capable d'un angle donné.

Supposons le problème résolu, et soit AFB (fig. 1 15) le segment cherché : la tangente BG au point B de ce segment fait avec la corde AB un angle ABC qui, comme tout angle AFB inscrit dans le segment, a ( 129} pour mesure la moitié de Tare situé au-dessous de AB; cet angle est donc égal à Tangle donné. On peut par suite mener cette tangente BG indépen*

LITRE II. — LA GIEGONFÉKENCE DE GBIGLS. g5

damment du cercle inconnu, en construisant au point B, aut dessous de AB, un angle ABC égal à l'angle donné. Dès lors,

Fig. Il 5. Fig. II 6.

le centre du cercle cherché sera à rinlersertion de la perpen* diculaire 0£, élevée sur le milieu de lacordt; AB, et de la perpendiculaire BO élevée en B sur la tangente BG; et l'on décrira ce cercle en plaçant Tune des pointes du compas en 0 et en donnant aux branches une ouverture égale à OB.

SCOLIE

162. Lorsqu'on n'aperçoit pas immédiatement la solution d'un problème, on suppose ce problème résolu et la figure construite. L'examen attentif de cette fîgure révèle entre les données et les inconnues certaines dépendances qu'on s'empresse d'utiliser pour modifier l'énoncé de la question. Le problème proposé est ainsi ramené à un autre, qu'on ramène par le même procédé à un troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à une question déjà traitée, ou à un problème dont la solution soit intuitive, c'estr-à-dire ne soit que la mise en œuvre d'un théorème connu.

C'est ainsi que la question de mener par un point une parallèle à une droite a été ramenée (1^9) à la construction d'un angle égal à un angle donné, et que les divers tracés relatllli aux perpendiculaires, à la division d'un angle oo d'un arc en deux parties égales, à la construction d'un cercle passant par trois points {loi, 152, 153), ne sont que des applications du problème du n** 151.

De même, si l'on proposait de mener une tangente commune à deux cercles 0 et 0' [Jig' 1 en supposant le problème résolu et imaginant par le centre 0' du plus petit rorclc une parallèle à la tangente commune AA', on verrait qun cotte parallèle (VB est tangente à un cercle concentrique au plus

grand et décrit avec un rayon égal à la différence (ou à la somme) des rayons des cercles donnés; le problème serait ainsi ramené à conduire par un point extérieur des tangentes à deux cercles concentriques.

Celte méthode des substitutions successives n'est pas d'ail- ; leurs particulière à la Géométrie ; c'est la marche que suit nécessairement Tesprit humain dans ses recherches de toute nature.

I 163. La plupart des problèmes de Géométrie reviennent en / dernière analyse à la détermination d'un point d'après certaines conditions. S'agli-il, par exemple, de faire passer un cercle par trois points donnés? il faut trouver le centre. Teuton mener une tangente à un cercle par un point extérieur? on cherche le point de contact; etc. D'après cela, si on laisse de côté une des conditions données» les autres conditions ne suffiront plus pour déterminer un point unique, et il existera une infinité de points remplissant ces conditions et formant par leur ensemble un lieu géométrique auquel appartiendra le point cherché. En reprenant la condition délaissée, et faisant abstraction d'une autre, on aura un nouveau lieu géométrique qui rencontrera le premier au point demandé. C'est à l'aide de celle méthode, par intersection de lieux f^éométriques, que nous avons résolu le problème du n°153 et toutes les queslions du paragraphe actuel.

Ainsi, pour trouver le centre d'un cercle passant par trois points donnés A, B, C (153), on fait d'abord abstraction du point C, et l'on trouve pour le lieu des centres des circonférences passant par A et B la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB; puis, reprenant le point G et délaissant le point A» on trouve pour le lieu des centres passant par B et G la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC. Ges deux perpendiculaires se coupent au centre demandé.

' Dans le problème mener une tangente a» cercle 0 par un point extérieur A (156), le point de contact inconnu est déterminé par l'intersection de la circonférence 0, qui est un premier lieu, et de la circonférence décrite sur AO comme diamètre, qui est le lieu des points d'où l'on voit, comme du point de contact, la droite AO sous un angle droit.