PB D^B

ils sonidonc conjugués harmoniques par rapport à la droite BC. Ainsi, les deux côtés d'un angle j la bissectrice de cet angle et celle de son supplément, déterminant quatre points sur une sécante quetconque^ lés deux derniers sont conjugués par rap" port aux deux autres»

Par suite, si l'on a un triangle PMQ inscrit dans un cercle, le diamètre DD' perpendiculaire à l'un des côtés du triangle est divisé harmoniquement par les deux autres côtés (Jig, 124).

Car les arcs D'P et D^Q étant égaux, la droite M'D est bissectrice de l'angle PMQ, et sa perpendiculaire MD est alors bissectrice de l'angle adjacent et supplémentaire QMG.

La réciproque est évidente.

tlO GiOVfiTRIB PLANE..

THÉORÈME

174. Le lieu géométrique des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport donné est une circon" férence [fig.

Soient B et C les deux points fixes, — le rapport donné et M

Fig. 124.

un point quelconque du lieu» c'est-à-dire un point tel qu'on ait

MB m

II existe d'abord, sur la droite indéfinie BC, deux points du lieu, c'esl-à-dire (107) deux points D et D' qui satisfont aux relations

BB m B'B m

on déduit de là

DC

DC

DC

MB MG

IVB

et xrn;,—

MB

Ces proportions prouvent (172), la première que MD est la bissectrice de l'angle BMC, el la seconde que MD' est la bissectrice de l'angle supplémentaire BMP. Or, les bissectrices de deux angles adjacents et supplémentaires sont rectangulaires. Donc, le point variable M est le sommet d'un angle droitDMD' dont les deux côtés passent constamment par deux points fixes D et D' ; tout point H du lieu est donc situé sur la circonférence décrite sur DD' comme diamètre.

11 reste à démontrer que, réciproquement, tout point M de cette circonférence BD' appartient au lieu, c'est-à-dire satisfait à la relation ( i )•

Or, puisque les points B çt G divisent harmoniquement le diamètre BD', les points P et Q, où les droites CM et MB

LlYRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. I I I

rencontrent la circonférence, sont symétriques par rapport au diamètre DD' (173). Les arcs D'P et D'Q sont donc égaux, et la droite MD' est bissectrice de l'angle BMP. On a par suite la proportion (171)

MB D^B m EXERCICES.

1. d étant la longueur d'une droite BG, et M et W étant les points

conjugués qui la divisent dans le rapport ^} démontrer les relations suivantes :

»ï* ^ MT» ^

ad hd , .

M'A = ^, M'B = — ^ {siae8t>^),

et

M'B=^^ (si«e8*<6).

2. Démontrer que, ai Ton mène entre les deux côtés d'un triangle mie suite de parallèles a la base, la.médiane qui correspond à cette base est le lien des points d'intersection des diagonales des trapèzes ainsi obtenus. '

8. Trouver le lien géométrique des points d'un plan également éclairés par deux points lumineux placés dans ce plan, et dont les intensités à l'unité de distance sont représentées par les nombres a et b,

4. Trouver dans le plan déterminé par trois points lumineux le point également édairé par chacun d'eux.

5. Trouver le lieu des points qui partagent dans un rapport donné —

toutes les droites comprises entre un point donné Â et un cercle donné 0.

6. ABC est un triangle équilatéral, E un point de AC; sur BC prolongé, on prend des longueurs CD, CF, respectivement égales à CA et à C£, et Ton mène les droites AF et DE qui se coupent en H. Prouver

HC AC ^^"*ÊC = ÂCTËG-

7. Soient deux droites quelconques AB et XY. Si AB est divisée au point C dans le rapport et si des points Â, B, C, on abaisse sur XY les perpendiCttlaires AA', 6B', CC, on aura toujours

a:'(/n4-«) = «.AA'+/«.BB'.

1 la

GÉ011£TR1£ tlaks.

s II.

Programme officiel : Polygones semblables» — Cas de timi" litude des triangles, — Rapport des périmètres de deux polygones semblables,

BtFINtnONS.

175. Deux polygones d'un môme nombre de côtés sont dits semblables lorsqu'ils ont les angles égaux et les côtés homologues proportionnels.

On entend par cotés homologues ceux qui sont adjacents à des angles respectivement égaux, et Ton donne à ces angles eux-mêmes le nom d'angles homologues; enfin, on appelle rapport de similitude des deux polygones le rapport de deux côtés homologues quelconques.

Ainsi, les deux pentagones ABa)£, A'B'G'D'E' {/g. ii5)

Fig. ia5.

sont semblable^, s'ils satisfont aux relations

A = A', B=B', C=C', D = D', E=E', AB BC CD DE EA A'B' ~ B C — CD' ~" £'A' *

Dans les triangles semblables, tels que ABC, A'B'C (/^.i26),

Firr. 126. I

- les côtés homologues sont opposéb uux angles égaux.

LlYttB III. — LES FIGURES SEMBLABLES. I|3