LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. II

184. Enfin, il reste à montrer l'usage de celte théorie, c'està-dire à indiquer de quelle manière les cas de similitude interviennent dans la démonstration des théorèmes. Deux triangles semblables satisfont à cinq condiiions, et chaque cas de similitude comprend deux de ces conditions groupées de telle sorte que, lorsqu'elles sont satisfaites» les cinq^soient remplies. Dès lors, quand, dans uiYe certaine figure, on aura reconnu la similitude de deux triangles par l'application de l'un des trois cas, on devra en conclure immédiatement que les trois autres conditions sont remplies, et Ton aura acquis de cette manière de nouvelles données qui permettront d'aller plus loin.

THÉORÈBIE.

185. Deux polygones, composés d'un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement disposés, sont semblables (fig» i3j).

Fig. i3f.

Soient ABF, F13E, EBC, CED, et A'B'F', F'B'E', E'B'C, C'E'D', deux séries de triangles respectivement semblables et semblablement disposés; le polygone ABCDEF, formé |)ar les premiers triangles, est semblable au polygone A'B'CD'E'F que forment les seconds.

En effet :

I* Les angles des deux polygones sont égaux, soit comme angles homologues de deux triangles semblables, soit comme sommes d'angles homologues de plusieurs triangles semblables. Ainsi, les angles A et A' sont égaux comme angles ho-^ mologues des deux triangles semblables BAF, B'A'F', tandis ■ que l'angle B est égal à l'angle B' comme étant la somme des trois angles ABF, FBE, EBC, respeclivemeni égaux aux. trois angles A'B'F', F'B'E', E'B'C, qui composent l'angle C

ll8 GÉOMÉTRIE FLAKB.

Les côtés homologues sont proportionnels, car on a successivement :

A cause des triangles semblables ABF, A' B' F%

A'B' A' F' BT'

AB

AF