AB.AD = AG.AE

En effet, prenons AD' — AD et AE' — AE, el menons D'E'. L'égalité des triangles ADE, AD'E', qui ont un angle commun compris entre deux côtés égaux, entraîne celle des angles ADE, A'D'E'. D'ailleurs, les angles ADE, ACB, sont égaux par hypoihèse (194.); donc les angles correspondants AD'Jl', ACB, sont égaux, et les droites BG, D'E', sont parallèles (64); on' a donc (169 ) la proportion

AB AC AE' ~ Aiy*

qui, lorsqu'on remplace les quantités A£' et AD' par les quantités égales A£ e( AD, devient

ou AB.ADsAC.AE.

Flg. i38.

196. Réciproquement, si deux droitesDY, et BC, tracées entre les côtés d'un angle BAC, sont telles y que le produit des dis^ tances du sommet aux deux points oà elles coupent chacun des côtés soit constant, c'est-à-dire sont telles qu'on ait

AB.AD=AG.A£ ou 4^ = tk'

Alit AD

ces droites sont anti-parallèles par rapport à cet angle. En effet, concevons la droite qui, menée par le point E,

UYU m. — U8 nGiJBBS smLABLU. 127

serait anti-parallèle à BG par rapport à l'angle BAC; cette droite couperait le côté AB en un point (195) dont la distance au sommet A serait une quatrième proportionnelle à AB, AE, AG. Or, la distance AD est précisément, en vertu de l'égalité (i), cette quatrième proportionnelle; donc la droite DE est anti-parallèle à BG.

ConOIXAIRB.

197. Si les deux points D et B se confondaient {Jïg, i38]y on aurait Ab'= AG . ^E.

Donc, lorsque deux droites anti-parallèles par rapport à un angle se coupent sur l'un des côtés de cet angle, la distance du sommet à ce point est moyenne proportionnelle entre les distances du sommet aux points où le second côté de Vangle eoupe les deux anti-parallèles.

Réciproqueme>t, si par un point B, pris sur l'un des côtés d*un angle BAC, on mène dans l'intérieur de l'angle deux

droites BG» BE, telles que Ab'= AG. A£, ces deux droites sont anti-paralièles par rapport à cet anf^.

THÉORÈME

198. Si du sommet A de l'angle droit d'un triangle rectan^ gitf ABG, on abaisse la perpendiculaire AD sur V hypoténuse : I* chaque côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre Vliypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse s la

Fig. 139.

perpendicuhnre AD est moyenne proportionnelle entre les deux segments BD e9ÇD de l'hypoténuse (Jig, 189).

En effet :

1° Les droites AC et AD sont anti-parallèles par rapport à

l'angle B (194- ), puisqu'èllcs font un angle droit, l'une avec le côté BA, l'autre avec le côté BC. On a donc (197)