ÂB=BC.BD, AC'=BC#CD

on obtient

ÂB'-+-Xc'=rBG.(BD-hCD) ou ÂbVÂc'=CC*.

UVRB m. — L£S FIGURES SEMBLABLES. I29 COROLLAIUS.

201. Ce théorème, dû à Pylhagorc (58o av. J. C.j, permet de calculer l'un des côtés d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres.

Si l'on couniiît les deux côtés 6 et c de l'angle droit, l'hj'poléouse a résulte de la formule

a* = 6» + c', d'où a =

Ainsi, soient 6 = 3, c=- 4, on a a — y^p +16 — y'^S = 5.

Si l'on connaît l'hypolénuse a et l'un des côtés 6 de l'angle droit, on trouve l'autre côté c par la formule

c» = a^ — 6% d'où c=:^âr^.

Ainsi, pour a = 5 et 6 = 3, on a c = ^25 — 9 = /ÏG = 4.

THÉORÈME

202, Dans tout triangle, le carré d'un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins deux fois le produit de l'an de ces côtés par la projec~ iion du second sur le premier.

Fig. i4o* Fi0. 14 1*

Soient ABC le triangle proposé, C un angle aiga et CD la projection da eôté AC sur GB ; il s'agit de démontrer la relation

Ab' = BC' 4- Âg' — 2BC. CD.

Deux cas peuvent se présenter, suivant que la perpendiculaire AD tombe «î l'intérieUrou à l'extérieur du triangle AIÎC; le premier cas a lieu lorsque l'angle ABC est aigu, et le second lorsque l'angle ABC est obtus ( 42 ).

l3o GÉOMÉTEIE PLANB.

Dans le premier cas (Jig, i4o), le triangle rectangle ABD donne

Âîî' = îiJD -t-Ai>\

Or, puisque le point 1) est, par li^puihèse, situé entre C et D, on a *

BD=^BC — CD, et, par suite, d'après un théorème connu d'Arithmétique (*),

Bd' = BC* CD ' — 2BC. CD.

En portant cette valeur de BD dans la relation (i), on trouve

ÂB^Bg'h-Cd'-i-ÂD* — 2BC. CD } et, comme le triangle rectangle ACD donne

on a finalement

Ïb' = BC' -h ÂC* - aBC. CD.

Dans le second cas [fit;. ), la démonstration est la même. 11 est vrai que, au lieu de

BD = BC — CD, on a BD = CD — BC;

mais comme, en vertu du théorème d'Arithmétique cité, le carré de BD n'est pas changé, et que c'est ce carré seul qui figure dans la démonstration, on voit que tout le raisonnement subsiste.

théoiiLme.

203. Si Vun des angles d'un triangle est obtus, le carré du côté opposé à cet an^e est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, plus deux fois le produit de Vun de ces côtés par la projection du second sur le premier {fig* ^^%).

Soient ABC le triangle proposé, C l'angle obtus, et CD la pro-

(*) Le carré de la difTércnce de deux nombres est ôgal au carré du premier nombre, plus le carré du second, moins le double produit de cea deux nombres.

tlTBB lit. — LES FIGITRES SEMBLABLES. l3l

jcclion de AC sur iiC; il a'n'^ii de démontrer la relalion

AB*= BC' -f- le' + aBC. CD.

' Le triangle rectangle ABD donne

(0 AB =BJ) -h AD.

Or, puisque l'angle AGB est obtus, la perpendiculaire AD

Fie. <4a*

tombe hors du triangle (42), et le point D est extérieur à BC; on a donc