Dans tout triani;le ABC (fg. i

i** La somme des carrés de deux côtés AC et Ali est égale à

Fig. 143

deux fois le carré de la médiane AD relative au troisième côté liC» plus deux fois le carré de la moitié de ce troisième côté;

2* La différence des carrés de deux côtés AC et AB est égale à deux fois le produit du troisième côté BC par la pnn Jection DE sur ce côté de la médiane correspondante AD.

En effet» Tangie ADB étant aigu, on a dans le triangle ADB (S02)

Âb' = ÂD + 55' — 2BD. DE.

L'angle ADG étant obtus, on a dans le triangle AGD (203)

ÂC ' = S* H- œ * -4- aCD. DE.

En ajoutant et retranchant ces deux égalités et «observant que CD = VD, on trouve

( I ) ' ÂB ' = 2Âd' -h 2 BD*,

(2) âc'—âb'= 2BC.de.

LITEB III. — LSS PIGURBS 8BilBI.ABU8. l33 ComOLLAIKBS.

â06. Si, les points B et G restant fixes, le sommet A se dé-

place de maiiicic que la somme AB -+- AC reste constante, la relation.(i) montre que la valeur AD de la médiane ne change pas. Donc, le lieu des points dont la somme des eetrrés des distances à deux points fixes est constante est une^irconférence ayant pour centre le milieu de la droite qui unit les deux points fixes.

Si, les points B et G restant fixes, le sommet A se déplace de

manière que la différence AC — AB reste constante, la relation (2) prouve que la projection DE de la médiane AD no change pas, c'esl-à-dii e que le point mobile A se projette toujours au même point E de BC. Donc, le lieu des points dont la différence des carrés des distances à deux points fixes est constante, est une droite perpendiculaire à celle qui unit les deux points fixes,

THÊORÈUB.

207. Si, d'un point pris dans le plan d'un cercle, on mène des sécantes, le produit des distances de ce point aux deux points d* intersection de chaque sécamte avec la circonférence est constant, quelle que soit la direction de la sécante.

Ainsi, soient deux sécantes issues du point fixe E; la première coupe le cercle aux points A et B, la seconde aux points G -et D : il s'agit de démontrer qu'on a