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|34 GfiOMÉTBU PLAHB.

208. Hf ciPROQUEMENT, lorsque deux droites KY^ et CD, pro^ longt'rs, s'il le faut, concourent en un point E tel qu'on ait la relation

les extrémités A, B» C, D, sont situées sur une même circonférence.

En effet, d'après le n? 196, la relation donnée prouve que les deux droites ÂG et BD sont anti-parallèles par rapport à Tangle AED; par suite, les angles ACD, DBA, sont égaux, et si sur la droite AD on décrit un segment capable de l'angle ACD, la circonférence qui passe par les trois points A, C, D, renfermera le point B.

Fig. 144. Fig. 145. Fig. 146.

COROLLAmS.

209. Ueprenons le cas où le point E est e\i('rieur {Jig. i4^)» et supposons que la sécante EIX! tourne autour du point E juscpTà ce (ju'elle coïncide avec la lang(Mil(^ KF; la si'canle enlière E(] et sa partie e\léri(Mire ED deviendront l'une cll'aulre égaies à la longueur EF de la langente, et la relation

EA. EB. — EC. El),

prise à la limite, sera

ea.eb = ëf\

Donc, si, par un point extérieur à un cercle, on mène une sécante et une tangente, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.

On peut d'ailleurs appliquer direclemenl à ce cas particulier la démonstration du cas général t les angles ËBF, AF£ (fis- i4^)> l'un inscrit, l'autre formé par une tangente et une

LITRB III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l35

corde, ont l'un et l'auirn pour mesure la moilré de Tare AF;

régajité de CCS nn;,M(\s iirouvi^ rauii-[!>îi;illéli.sme des droilrs AF Cl BF par rapport à l'angle E, cl par suite (107} entraîne la relation

£f' = Ek. £B.

210. Réciphooi EMENT, si (rois points A, B, F, sititf^s, h's deux premiers A et B sur un côté de iant^le E, et le troisième F sur Vautre côté, sont tels qu'on ait la relation

ËF'r:rEA.EB,

la circonférenee qui passe par ces trois points est tangente en F au côté EF. «

En effet, d'après le n* 197, la relation donnée prouve ranti> parallélisme des droites AF et BF par rapport à Tangle £; les angles AFE, EBF, sont donc égaux; par suite, si Ton décrit une circonférence passant par A et F et tangente en F à la droite EF, cette circonférence, d'après la construction connue du segment capable ( ICI }, passera par le point B.

EXERCICES

i. Dans {ont quadrilatère, la somme df^s carrés dos quatre côtés est épralo à la somme dos carrés dos doux dinironnles, plusquairo fois lo cirro do la droite qui unit les milieux de ceà diagonales. — Application au parallélogramme.

' 2. Dans tout quadrilatère inscriptiblo :

1° Le produit des diagonales est égala la somme des produits des côtés opposés ;

2" Le rapport dos diagonales est égal au rat)j)ort do la somme des produits des côtés qui aboutissent aux extrémités do la jiromien; diagonale à la somme des produits des côtés qui aboutissent aux extrémités do la seconde.