Le produit do doux côtés d un triangle est égal

I** Au carré do la bisseclrico de leur angle, augmenté du produit des deux segments que celte bissectrice détermine sur le troisième côté;

ql" Au produit des deux segments soustraclifs que la bissectrice de leur angle extérieur détermine sur le troisième côté, diminué du carré de cette bissectrice; ,

3" Au produit du diamètre du cercle ciittonscrit au triangle par labautour relative au troisième côté. /

l36 GÉOMÉTRIE PLANE,

A. Étant donnés les trois côtés d'un triangle, calculer : I** Ses hauteurs; 1° ses médianes; 3° les bissectrices de ses angles intérieurs ou extérieurs; 4* 1© rayon da cercle circonscrit.

8. Dans tout quadrilatère, la somme des carrés des diagonales est le • double de la somme des carrés des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

6. Soit G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC; démontrer la relation

ÂB* +j£ +BC* = 3 (m H-BG* +CÔ').

— En déduire le rapport de la somme des carrés des côtés d'un triangle k la somme des carrés de ses médianes.

7. Soient 6 le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC, et M un point quelconque pris dans son plan; démontrer la relation

MA +MbVmc' = Aâ'^-BÛ'^-Câ%3Mâ^ 8. Étant donné un triangle ABC, trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances anx trois sommets da trtongle est constante et égale à un carré donné A'.

9. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le produit des bases.

10. Étant donnés un point A et un cercle 0, on mène à ce cercle par le point A une sécante ABC sur laquelle on prend un point M tel qu'on ait AH.AC = ^; trouver le lieu décrit par le point M, quand la sécante ABC tourne autour du point A.

11. Deux droites se coupent à angle droit dans un cercle ou hors d'un cercle; démontrer que la somme des carrés des deux droites opposées qui unissent leurs points d'intersection avec la circonférence, est égale au carré du diamètre, ainsi que la somme des carrés des quatre segments des deux droites.

12. Si^ dans le problème précédent, AB et CD sont les cordes interceptées par la circonférence 0 sur les deux droites données qui se coupent perpendiculairement en E, on a

ÂB* + Cd' + 4Ôi' = soi*'

18. Quatre points étant sur une même circonférence, dans chacun des triangles formés par ces quatre points pris trois à trois, existe un point de rencontre des hauteurs : démontrer que ces quatre points de rencontre sont sur une même circonférence égale à la première.

UTRE III. — LES FI6UEES SEMBLABLES. l3'J

S IV

Programme officiel : Probicnies : Diviser une droite donnée en parties égales ou proportionnelles à des loni^ueius données. — Jro uver une quatrième proportionnell e à 1 1 o is l ign es do n~ nées, une moyenne proportionnelle entre deux lignes don" nées, — Mener une tangente commune à deux cercles. — Construire, sur une droite donnée, un polygone semblable à un polygone donnée

PROBLÈME

211. Diviser une droite A en parties proportionnelles à des droites données M, N> ou/ en un certain nombre de parties égales.

Après avoir tracé un angle CBD de grandeur convenable (fS' ^4? }• prenez sur le côté BC une longueur B£ égale à A,

Fig. 147.

Al —H

Ml 1

et sur le côic TÎD des longueurs BF, FG, GlI, respectivement égales à M,N, P. Tirez IIE, et menezFL, GK, parallèles à HE. La droite BË ou A sera ainsi divisée aux points L et K en par- Ue's proportionnelles à M, P. On a en effet (168)