LIVRE DEUXIÈME

BC ( problème II); puis, faisons EAF égal à l'angle donné D : la droite AF satisfera au problème.

En effet, les angles altemes-internes EAF, AFB sont égaux.

Remarques. — i°. Le problème que nous venons de résoudre admet deux solutions, excepté quand l’angle D est droit.

a°. La construction indiquée dans le premier cas peut servir à construire un arc égal à un arc donné.

Problème. V.

Diviser en deux parties égales un angle donné BAC

Décrivons, du poitnRP comme centre, un arc qui coupe en B , C les côtés de l'angle ; puis , de ces deux derniers points comme centres , avec un môme rayou suffisamment grand, traçons deux arcs qui se coupent en un point D : la droite AD sera la bissectrice demandée.

En effet, si nous menons BD, CI), les deux triangles ABD, ACD seront évidemment égaux.

Remarque. — La même construction permet de diviser un are en 2 , 4,8,... parties égales. t .

Problème VI.

i u . Par trois points donnés A, B, C (Jig. 93) faire passer une circonférence ,• 2 0 trouver le centre d’une circonférence donnée ou (Fun arc donné. Jf

t°. Des points A et B comme centres, et d’un même rayon , décrivons deux arcs qui se coupent aux points D, E. Des points B et C comme centres, et d’un même rayon , décrivons deux arcs qui se coupent aux points F, G. Enfin , menons les droites DE, FG : leur point de rencontre sera le centre O de la circonférence chèrchée (159).

. JK

■* ,3°. Si l’arc ABC est donné, on prend sur cet arc trois

points A, B, C; et l’on achève comme précédemment.

Remarque. — Cette même construction donne le centre du cercle circonscrit à un triangle donné.

Problème VII.

Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC {fig. 94)- Menons les bissectrices des angles A et B ( problème V). Ces droites se couperont en un point O, qui sera le centre du cercle cherché (100). Si donc , de ce point comme centre , avec un rayon égal à la distance de ce même point à la droite AB, nous traçons une circonférence, elle touchera les trois côtés du triangle £158).

Remarque. — Une construire analogue donne les centres des cercles ex-inscrits.

Problème VIII.

Construire un triangle , connaissant deux côtés a, b * (. fië' 9^) ct i’ an §? c compris O.

Tirons la droite indéfinie Cx; formons au point C l’angle xC y égal à l'angle donné O ( problème IV) ; prenons CB == a , CA = b ; et menons AB. Le triangle demandé sera ABC.

» Remarque. — Ce problème est toujours possible.

t , Problème IX.

Construire un triangle , connaissant un côté et deux angles. \

Si les deux angles doivent être, l’un et l’autre, adja- ‘ cents au côté donné, la construction se fait immédiatement. Si l’un des deux angles donnés doit être opposé au , côté connu, le troisième angle, étant supplémentaire de la somme des deux premiers, s’obtiendra facilement; et le problème sera ramené au premier cas.