LIVRE DEUXIÈME

Remarque. — Le problème est possible toutes les fois que la somme des deux angles donnés est moindre que a droits.

Problème X. 1 »

Construire un triangle , connaissant ses trois côtés a, b, c ( fig . 96 ).

Sur une droite indéfinie xy, prenons BC = a. Les points B et C comme centres, avec des rayons respectivement égaux à c et b, traçons deux circonférences. Enfin, joignons l’un des points où elles se coupent, avec les points B, C, par les droites AB, AC. Le triangle demandé sera ABC.

Remarque. — Soit a le plus grand des trois côtés donnés. Nous aurons évidemment

a > b — c, ou «^>c

Ainsi, la distance des centres est plus grande que la dil— ^ fércnce des rayons. Le problème sera donc possible si «, b , c satisfont à la condition

Problème XI.

Construire un triangle , connaissant deux cotes a, b {f l S- 97) vt ^ angle O opposé au côté b.

Construisons l’angle jcBj égal à O. Prenons BC =\a ; puis , du point C comme centre , avec b ponr rayon , traçons un arc qui coupe en A le côté \\y de B. Le triangle demandé sera ABC.

Discussion. — Ce problème présente trois cas px-incipaux , selon que l’angle O est aigu, droit ou obtus.

i* r Cas. O < i d . Abaissons du point C la perpendiculaire CD sur B y.

i°. Si h est moindre que CD, la circonférence décrite

du point C comme centre, ne rencontre pas Vry (158), et le problème est impossible;

a°. Si b — CD, la circonférence touche By, le problème admet une solution, et le triangle ABC est rectan-

glc en A ;

3°. Si l’on a b > CD et < «, la circonférence coupe By en deux points situés d’un même côté du sommet B, et le problème admet deux solutions ;

4°. Si b = a , la circonférence passe en B , le problème n’admet plus qu’une solution, et le triangle ABC est isoscèle ;

5°. Enfin , si l’on a b la circonférence coupe B y en un point, et son prolongement By' en un point : le problème admet une seule solution.

t 2 e Cas. O = i d . Le problème a une solution si l’on

a b > a. Il est impossible pour b ~^a.

3* Cas. O > i d . Le problème n’est possible que si l’on a b > a. Il n’admet qu’une solution.

Problème XII.

Construire un quadrilatère convexe , connaissant ses quatre côtés cl T angh • compris par deux d’entre eux.

Celte question se résout par les problèmes VIII et X.

Problème XIII

Construire un trapèze , connaissant ses quatre côtés.

Soit ABCD ( fig . 98 ) le trapèze cherché , ayant pour bases parallèles a etc. Menons, par l’un des sommets C de la plus petite base, une parallèle CE au côté DA; nous aurons décomposé la figure en un parallélogramme AECI) et un triangle EBC. Dans ce triangle, BC est donné, CE = AD = </, et EB — AB — CD = a — c.