LIVRE DEUXIÈME. 5g

pération du plus grand commun diviseur de deux nombres.

D’après cela , pour résoudre le problème proposé : Portez la plus petite droite B sur la plus grande A, autant de fois qu’elle peut y être contenue; portez le reste C sur B autant de fois qu’il peut y être contenu; puis le second reste D sur le premier reste C , etc. Si les droites données sont commensurables , vous arriverez à un dernier reste M qui divisera exactement le reste précédent, et qui sera la commune mesure demandée.

Supposons , pour fixer les idées , que l’on ait trouvé

Ces équations donneront

C = aiE -t- E = 22 E, B = 44 e -H 3E = 47 e >

Ainsi , la commune mesure E est contenue i63 fois dans A et 45 fois dans E ; donc

Si les droites données sont incommensurables, l’opération précédente n’aura pas de fin , et l’on ne pourra pas déterminer rigoureusement le rapport des deux droites. Mais, eu négligeant le dernier reste obtenu, on obtien-» dra, au lieu de ce rapport, une valeur qui en approchera d’autant plus, que le reste négligé sera plus petit, (f^opez les Traités d’ Arithmétique et d’Algèbre.)

Remarque. — La règle ci-dessus, exacte en théorie, est à peu près illusoire dans la pratique, parce que , les pointes du compas ne peuvent se rapprocher indéfiniment. On évite cet inconvénient en doublant ou tri-»

plant, à chaque fois, les deux restes consécutifs que l’on veut comparer.

Problème XIX.

Trouver la plus grande commune mesure de deux angles donnés.

Des sommets de ces angles, comme centres, décrivons avec un même rayon , des arcs compris entre leurs côtés. En opérant comme dans le problème précédent, nous pourrons trouver la commune mesure M de ces arcs. Et si nous prenons l’angle correspondant à M, cet angle sera la commune mesure cherchée.