y Démonstration . — Dans un triangle, chaque

L1VKE TROISIÈME.

côté «le l'angle droit est moyen proportionnel entre l’hypoténuse et la projection du côté sur l'hypoténuse (229, a°). Ce théorème, appliqué aux deux côtés AB et AC (Jig- 1 1 4)> donne, d’après les remarques faites précédemment,

ÂB = BC X BD,

ÂC = BC X DC,

d’où

ÂB V Âc’ = BC (BD + DC) = BC .

266. Remarque. — La première démonstration fait voir que les deux carrés ABF , ACG sont équivalents aux rectangles BI , CI. Or, ces rectangles ayant même hauteur HI, sont entre eux comme leurs bases BH, CH (242), La même relation existe donc entre les carrés ; ainsi :

Les carrés des côtés de l'angle droit sont entre eux comme les projections de ces côtés sur l'hypoténuse ; et

Le carré d’un côté de /’ angle droit est au carré de l'hypoténuse, comme la projection de ce côté est à Hypoténuse.

Ces deux conséquences se déduisent également des équations posées dans la troisième démonstration. Elles confirment ce que nous avions annoncé au n°267.

266. Corollaire. — Le carré construit sur la diagonale d’un carré est double de celui-ci.

Théorème XXV.

267. i°. Dans tout triangle, le, carré du côté opposé à un angle aigu , est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , moins deux fois le rectangle de l’un de ces côtés, par la projection du second sur le premier ;

2 °. Dans un triangle obtusangle , le carré du côté opposé à l’angle obtus , est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, plus deux fois le rectangle de

r un de ces côtés pur la projection du second sur le premier.

i°. Soit le côté BC ( fig. i3o) , opposé à l’angle aigu A. En abaissant CD perpendiculaire sur AB , nous aurons , par le théorème précédent ,

BC 3 — CD V Bd\

CD* = Âc’ — ÂD ! .

La droite BD étant la différence entre AB et AD, nous aurons aussi (258),

. BD’ = AB’ -f- AD — 2AB X AD.

Ajoutant ces égalités , nous trouvons