AB X AD + BC X CD) BD = ?.D X ABCD

La seconde décomposition donnerait pareillement (AB X BC -H AD X CD) AC = îD X ABCD; par suite,

(ABXAD + BCX CD) BD = (AB X BC -h AD X CD) AC; etc.

280. Remarques. — i°. Soient a, b , c, d les côtés d’tin quadrilatère inscriptible , et a, (3 les diagonales. Le théorème XXXIII donne

«P = ac -h bd ;

et le théorème XXXV,

a ad bc

P ab -f- cd

Si nous multiplions ou si nous divisons membre à membre ces deux équations , nous obtiendrons

(ac -+- bd) ( ad H- bc) ab -+- cd

(ac -+■ bd) (ab cd)

ad -f- bc

a". Soit d la droite qui joint les milieux des diagonales; nous aurons , par le théorème XXVII ,

Si , dans cette équation , on remplace a* et j5’ par les valeurs précédentes, on obtiendra, par un calcul que nous supprimons,

,,, (a 7 — c 7 ) 7 bd -f- (b 7 — d 7 ) 7 ac

* (ad -4- bc) (ab -f- cd)

TnÉORÈME XXX VI.

287. L 'aire d'un triangle est égale à la racine carrée du produit que ion obtient en multipliant le demi-périmètre par ce demi-périmètre diminué de chacun des côtés.

i rt Démonstration. — 1 °. Menons les bissectrices AO, 150 , CO (Jig- *4°) des angles intérieurs; elles se couperont au point O, centre du cercle inscrit (160). Menons aussi les bissectrices HO', CO' des angles extérieurs ; elles couperont AO au point O', centre d’un des cercles exinscrits (161).

Enfin, abaissons sur les côtés du triangle les perpendiculaires OD, OE,OF, OG, O' H, O'I.

En désignant par «, b , c les côtés , et par r le rayon du cercle inscrit, nous aurons, pour mesures des triangles HOC , CO A , AOB .

T fl, > 7 br, ÿcr.