LIVRE TROISIÈME. Ç
L’aire du triangle ABC sera donc
T = 7 (a H- A 4 - c) r, ou T = pr,
ip étant le périmètre du triangle. Ainsi :
L'aire d'un triangle est égale à son demi-périmètre , multiplié par le rayon du cercle inscrit.
a°. La droite AH est égale au demi-périmètre du triangle ABC ; et les trois segments AF, FB , BH sont égaux , chacun, au demi-périmètre moins un côté.
J’observe que le périmètre = AB + AC - 1 - BC = AB + AC + BG 4- CG. Mais BG = BH ,CG = CI, etc. (19t, a°); donc y> = AB -f- BH -+- AC — CI = AH —|— AI = aAH; donc^ = AH.
Secondement, le demi-périmètre p = AF-f-BF + CD = AB 4 - CD ; mais p = AH = AB -f- BH = AB -f- BG ; donc CD = BG et BD = CG.
Nous aurons ensuite, pour les valeurs des trois segments,
AF = p — FB — BH = p — BD — CD = p — a, FB = p — AF — BH = p — AE — CE = p — b, BH = p — c.
3°. Comparons maintenant les deux triangles rectangles BFO, O'BH. Ces triangles sont semblables, comme ayant les côtés perpendiculaires (213); donc
° U (/- r - H(y Les deux triangles AFO, AHCy donnent
ÂH = Hô'’ ° U {P ~ û)H ° = pr - Multiplions les deux équations membre à membre ; nous obtiendrons
( P — «)(/»— b )(P — c) = pr-i ou bien , en multipliant de part et d’autre par p ,
Le second membre représente le carré de l’aire du triangle ; donc
T = \jp(p — a)(p — b)(p —~c).
288 . 2 e Démonstration. — Pour déterminer l’aire du triangle, nous allons calculer la hauteur AD ( fig . 141). En supposant l’angle lî aigu, nous aurons d’abord ( 207 ),
b' =;«> + «* — 2a. BD; d’où BD — + C ’ — b '
Le triangle rectangle ABD donne
AD
Telle est l’expression du carré de la hauteur : mais cette
lormulepeut être considérablement simplifiée.
Le second membre , étant la différence de deux carrés ,
égal à (c H — j(c — ). Dans ce
2ac -f- a 1 4- c’ — A 1
est
• produit , le premier facteur égale (a c)* — A
Ici encore, le numérateur, étant la différence de deux carrés, peut se mettre sous la forme (a -h c ■+■ b) (a -+- c — A).
Notre premier facteur devient donc ^ c b)(a-hc A) .
Le second se transforme pareillement en
2ac — a' — b 1 A’ — (a — c)’ (A -H a — c)(b — a + c). 9 .a 9 .a ?.a
par suite ,
ÂD * = (« + c -f- A) (a -t- c — A) (A — a -f- c)( A -+- a — r)
Tfî “ T"
