LIVRE TROISIEME. T

Introduisons dans celte expression le périmètre a p du triangle : les quatre facteurs du numérateur deviennent respectivement

donc *

Ad’ = ~ a) (P ~ b){p — c)

Et comme T = | AD a , il vient finalement

T — \lp(p — a) (p — b) (p — c).

289. Remarques. — i°,.Dans la première démonstration, représentons par a le rayon du cercle O'; nous aurons, en observant que le triangle ABC est égal à ABCf A «y — BCO',

Si nous désignons par (3-et y les rayons des cercles exinscrits, situés dans les angles B et C, nous obtiendrons de même , «

Mais nous avons trouvé T = pr ; donc

T‘ = P (P ~ «)iP ~ b) (p — c) apyr.

Et comme

il vient

T — Jra By.

Ainsi : l'aire d' un triangle est égale à la racine carrée du produit des rayons des cercles inscrit et ex-inscrits. * »

a 0 . Les quatre valeurs de T , écrites ci-dessus , donnent T T , T T

Ajoutons , membre à membre , les trois dernières équations , et retranchons la première ; nous aurons

Ainsi : l'inverse du rayon du cercle inscrit est égal à la somme des inverses des rayons des cercles ex-in-

scnts.

Théorème XXXVII.

290. En représentant par a\ b, c, d les côtés d’un quadrilatère inscrit ABCD (fig. i4a) , et par ip son périmètre, on obtiendra l’aire A de ce quadrilatère au moj'cn de la formule

Prolongeons les côtés BC, AD jusqu’à ce qu’ils se rencontrent eu O. Nommons T l’aire du triangle CI)0 , semblable à ABO ; nous aurons (275),

= — , ou =.,= — — : — s»

donc

Par le théorème précédent,

Il reste à déterminer chacun des facteurs de la quantité placée 6ous le radical.

La comparaison des côtés homologues dans les deux triangles, donne