LIVRE TROISIÈME. Io

Prenons , sur une droite indéfinie , AB = »n, BC = « ; sur AC , comme diamètre , décrivons une demi-circonférence; élevons en B la perpendiculaire BD au diamètre, et menons les droites indéfinies DA, DC.

Enfin, prenons, sur la première de ces deux droites, DE = A ; et, par le point E, menons EF parallèle à AC.

Je dis que DF sera le côté du carré cherché.

Eu effet , en désignant par AD et CD lés carrés construits sur AD et CD, nous avons d’abord (265)

AD AB ni

CD’ BC n

De plus, les parallèles EF, AC donnent

donc

AD

DE

f CD

df

ÂD

~~ DP* ’

cr — •

DF

Scolic. — Dans le cas particulier où AD se trouverait égal à A, CD serait le côté du carré demandé.

Problème XII.

Partager un trapèze en parties proportionnelles à des droites données , par des parallèles aux bases.

Supposons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse de partager le trapèze ABCD (fig- i 52 ), en trois parties proportionnelles à des droites données m, n, p. Nous aurons ,

lo 6 GÉOMÉTBIE.

cil représentant par EF, GH les lignes de division ,

ABE F m EFGH « n

ABCD '» fti *-f- tt p ABCD m -+- n -F p

GHCD i p

r ABCD m n - 4 - p ’

d’où

ABEF o m ABGH m-\-n

ABCD ~ m -t- n -f- p ABCD m ■+■ n + p

Soit I le point de rencontre des côtés AC, .BD : les proportions précédentes deviendront , si 'Ton remplace les trapèzes par des diflérences de triangles,

ABI — EFI » m ABI — GHI m -+- *

ABI — CDI m-{-n-\-p ABI — CD1 m ■+■ n -t - p

Or, les triangles semblables ABI, EM , . . . sont entre eux comme les carrés de leurs côtés homologues BI , FI, ; donc " <

, BI — FI m BI — III m •+■

BÎ* Di’ ~ "> + n +P K Bî’ gj’ *7 n, -f- nr+Tp

Décrivons, sur BI comme diamètre , une demi-ci rcon- férence ; du point I Comme centre , traçons les arcs FP, HH', DD' ; nous aurons

BïV- Fï’= BF', Bl’ — ¥l = BEL', BÏ — DI = BD'; et , par suite ,

BF' m BU' m + n

gjy m -F- n p gjy m -h n + p

Ces dernières proportions apprennent que les carrés construits sur les cordes BF', BH', BD' sont entre eux pomme m, m -f- n, m -f- n p. Or, ces mêmes carrés