LIVRE TROISIEME

Ami de ramener celte proportion a une autre qui ait lieu entre des lignes, cherchons, par le- problème XIII, les côtés B et A des carrés équivalents à Q et P, l’équation précédente deviendra >

* = — » ddû -j — v

Ainsi , le côté x sera une quatrième proportionnelle aux droites A, B et a.

Problème XVII.

Construire un rectangle équivalent à,un carré donné, connaissant la somme ou la différence des côtés adjacents. ’ ■ .

i°. Soit AB ( fig. 1 55) la somme de la base et de la hauteur du rectangle. Sur cette droite , comme diamètre , ( décrivons une demi-circonférence; menons parallèlement au diamètre, à une distance égale au côté du carré, la droite CD. Elle rentontrera généralement la demi-circonférence en deux points. Si, par l’un d’eux, nous menons CE perpendiculaire à AB, les côtés adjacents du rectangle demandé seront égaux à AE et BE.

En effet , la perpendiculaire CE est moyenne proportionnelle entre les deux segments CE, BE (231, a°); donc, etc.

2 °. Soit AB (fi g. i56) la différence donnée. Sur cette droite, comme diamètre, décrivons- la circonférence AFBE. Au point A, menons la tangente AD, égale au côté du carré donné. Enfin, joignons le point D au centre C , par la sécante DFE. Les dimensions du rectangle cherché seront DE et DF.

Effectivement, la tangente* AD est moyenne proportionnelle entre ces deux droites (232, 3°), dont la différence est AB.

1 I a GÉOMÉTRIE.

Remarques. — i°. Nommons s la somme de la base et de la hauteur du rectaugle , et c le côté du carré donné. La droite CD (fg- 1 55) rencontrera la demi-circonférence en deux points, si l’on a j a; elle touchera la demicirconférence si c = j s , et alors le rectangle cherché sera précisément le carré donné c’. Enfin , si l’on a q > j s , la droite CD sera extérieure à la circonférence , et le problème sera impossible (158).

a°. On conclut de cettç discussion , ce théorème d'arithmétique :

Le produit de deux facteurs dont la somme est constante, est le plus grand possible , lorsque ces facteurs sont égaux.

3°. L’équation générale du second degré x ! px -H (j — o,

prend, si l’on met en évidence les signes <hbp et de q, les * quatre formes suivantes :

(i) x 1 -+• px q — o, (a) x ! — px -+- q — o, •

(3) x* ■+■ px — q — o, (4) X> — px — q Se o.

Si l’on change x en — x , les équations (i) et (3) se changent dans les équations (a) et (4)- <

Donc l’équation générale du second degré peut toujours se ramener à l’une ou à l’autre des équations (a) et (4), lesquelles peuvent être "écrites ainsi :

(5) xQp — x) = q, (6) x(x — p) =+q.

Dans l’équation (5), la somme des facteurs x, p — x est p, et leur produit est q..

Dans l’équation (6), la difl’érence des facteurs est p, et leur produit est q.

Nous voyons donc que les deux problèmes résolus cidessus reviennent à la résolution d’une équation du se-