LIVRE TROISIEME
Problème XX.
Mener une tangente commune à deux cercles donnés.
Soient O, ü'( fi g. 160) les deux cercles, et soit AB une droite qui les touche aux points A, B. Menons les rayons OA, O'B : ces droites, perpendiculaires à AB, seront parallèles entre elles. De plus, si, par le centre O', nous menons O'E parallèle à AB , ijious connaîtrons , dans le triangle rectangle OEO', l’hypoténuse OO' et le côté OE, égal à la différence des rayons OA , O 1 B.
De là, la construction suivante :
Sur la distance OO' des centres, comme diamètre, décrivez une circonférence OEO'E'. Du pointO, centre du plus grand des deux cercles, décrivez, avec un rayon égal à la différence des rayons donnés, une nouvelle circonférence. Elle coupera la première aux points E, E'. M étiez OE,OE', qui rencontrent la circonférence O aux points A, A'.
Menez aussi, par le centre 0 \ les droites O'B, O'B', respectivement parallèles à OA , OA'. Enfin , tirez AB , A'B' : ces droites seront tangentes aux cercles donnés.
Remarques. — i°. La construction qui vient d'être indiquée donne les tangentes extérieures. En remplaçant la circonférence EE' par une circonférence FF', décrite du centre O , avec un rayon égal à la somme des rayons donnés, on obtiendra les tangentes intérieures CD, C D'. Le problème proposé est donc , en général , susceptible de quatre solutions qui peuvent , dans certains cas particuliers , se réduire à un plus petit nombre : il est impossible, si les cercles donnés sont intérieurs l’un à l’autre.
a°. Les tangentes extérieures AB, A'B' rencontrent la ligne des centres en un même point G; et les tangentes intérieures CD, CIÏ rencontrent cette droite en un point H. Cela étant, nommons R, R' les rayons des circon-
férences, et d la distance des centres ; nous aurons, dans les triangles OAG, O'BG,
OG
OG
d’où
OG = d
ÔG ’
De la même manière, les triangles OCH, O' DH donnent
OH
(VH’
OH
d’où
OH = d.
ÔH ;
Ainsi , les distances OG , OH peuvent s'obtenir par des troisièmes proportionnelles; ce qui fournit une autre
construction du problème.
• . R OGR OH,
3 °. Les proportions —, = —, = donnent
OG
OH
Ainsi , la droite OO' est partagée aux points G , H de manière que les deux segments additifs OH, HO' sont proportionnels aux deux segments soustractifs OG, O'G ; c’est-à-dire que les deux systèmes de tangentes divisent harmoniquement la distance des centres ( 226 , i°).
Problème XXI.
Décrire une circonférence tangente à une droite donnée AB (Jig- 161), et passant par deux points donnés C,D.
Supposons le problème résolu; et soit O la circonférence cherchée , touchant AB en E. Le problème se réduit à la recherche de ce point de contact.
Si les points C, D étaient situés sur une parallèle à AB , le point cherché E appartiendrait évidemment à la perpendiculaire élevée sur le milieu de CD. Laissons donc
