LIVRE TROISIÈME

de côté ce cas particulier, et soit F le point où la droite CD rencontre AB.

Alors FE et FD sont une tangente et une sécante issue# du même point ; donc (232, 3 U ) FE est moyenne proportionnelle entre FD et FC. De là, la construction suivante :

SurFD, comme diamètre , décrivez une demi-circonférence. Au point C , élevez la perpendiculaire CG à FD ; et du point F comme centre, avec la distance FG pour rayon, tracez un arc qui coupera AB en un point E; etc.

Remarque. — La corde FG peut être portée à droite ou à gauche du point F ; donc le problème admet généralement deux solutions.

Problème XXII.

Décrire une circonférence tangente à deux droites données , et passant par un point donné.

Ce problème se ramène facilement au précédent.

Problème XXID.

Décrire une circonférence qui touche une droite et une circonférence données , et qui passe par un point donné.

Soient AB, C, O (fg* 162) la droite, le point , et le cercle donnés; soit O' la circonférence cherchée, qui touche en un point inconnu H la circonférence O. Menons DOEF, O'G perpendiculaires à AB; menons aussi HI), HG. Soit enfin I le point où la droite CD rencontre la circonférence cherchée : si ce point était connu, le problème serait ramené au problème XXI.

Dans les deux triangles isoscèles DOII, GO'H, les angles O, Cf sont égaux comme alternes-internes; donc ces deux triangles sont équianglcs; et comme OHO' est une ligne droite (172) , les deux angles égaux DUO, GHO' auront leurs côtés HD, HG en ligne droite. 11 suit de là que si nous menons HE, cette droite, perpendiculaire à HD,

sera aussi perpendiculaire à HG , et que le quadrilatère GHEF, ayant deux angles opposés supplémentaires, sera iascriptible (193). Donc les quatre points II , E, F, G appartiennent à une même circonférence.

Actuellement , les deux sécantes DF, DG donnent DF X DE = DG X DH.

De même , les deux sécantes I)G, DC donnent DG X DH = DCX DI.

Par suite,