PROPRIÉTÉS DES POLYGONES RÉGULIERS

291. On appelle polygone régulier celui qui est à la fois équianglc et équilatéral.

Ainsi, un triangle équilatéral , un carré, sont des polygones réguliers.

De cette définition résulte immédiatement la conséquence suivante ;

292. Deux polygones réguliers d’un même nombre île côtés sont semblables.

En effet, les côtés sont proportionnels, chacun à chacun , et les angles sont tous égaux (138).

Tuforèhe I.

293. Tout polygone régulier est , i° inscriptible à une circonférence ; a” circonscriptible à une circonférence.

i°. Menons les bissectrices AO, RO (fg- 164 ), des angles A et B du polygone régulier; joignons le point O, où ces lignes se coupent, aux sommets C , D, E, . . . Je dis que toutes les droites OA, OB, OC, . . . sont égales.

Les côtés du polygone étant tous égaux entre eux, et OB étant la bissectrice de l’angle B, les deux triangles ABO, CBO seront égaux, comme ayant un angle égal, compris entre deux côtés égaux. Mais ABO est isoscèle, donc CBO le sera pareillement; donc OC =OB = OA. De plus, OC sera la bissectrice de l'angle BCD.

Le même raisouuemeul esl applicable aux deux triangles OBC, OCD ; et ainsi de suite. Donc , la circonférence décrite du point O comme centre, avec OA pour rayon , passera par tous lès sommets du polygone régulier.

2 °. Les triangles AOB, BOC,... étant isoscèlcs et égaux, leurs hauteurs OM, ON, OP sont égales; donc la circonférence décrite du point O, avec OM pour rayon, touchera tous les côtés , chacun en son milieu.

294. Le point O , centre commun des circonférences inscrite et circonscrite, est appelé centre du polygone.

Le rayon OM du cercle inscrit, est l'apothème.

295. Remarque. — Dans deux polygones réguliers d’un même nombre de côtés , les rayons des cercles circonscrits sont des droites homologues (218). U en est de même des apothèmes. Donc

Les périmètres de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont entre eux comme les rayons des cercles circonscrits , ou comme les apothèmes . Les aires de ces polygones sont entre elles comme les carrés des mêmes droites.

Théorème I).

296. Le côté du carré est au rayon du cercle circonscrit , comme s/a est à i.

En effet (fig* i65), la diagonale du carré est évidemment un diamètre du cercle circonscrit; donc (267),

AB i AB

AO i v/î °* i

297. Scolie. — Soit c le côté d’un carré, soient R le rayon du cercle circonscrit, et « 1 apothème ;