LIVRE QUATRIEME. I

ne ; et comme f ca X n = en X = p X Ja, on aura

P = p X T fl .

P étant l'aire (lu polygone.

309. En appliquant ce théorème aux polygones réguliers examinés ci-dessus, 011 trouve:

i°. Triangle équilatéral :

n = 3 ; P= 3 Rv/ 3 x|R, ou P = |R’vÆ;

a°. Carré :

« = 4 ; p= 4 Rv^XtRv , 2 > ou p = ?.r>;

3°. Pentagone :

n — 5 ; P = 5 .yR Vto — 2 v ^5 X7R (^ 5 -f- 1) •

= 7 i r R^(io- 2v ^)(6-4-2 V /5),

P=iR’Vto4-2 V '5;

4°. Hexagone :

/i = 6; P = 6 RXtRv/ 3 , ou P=iR'^ 3 ; - 5°. Décagone :

n — 10; P= lo.-jR (y ^5 — i)x|R V<o-+- ay/S

= |R*V(io -+- a s/5) (6- 2 vfê)>

etc.

310.. Ces formules donnent, pour n = 3, w = 4* n = 5, « = 6, n = 10 , . . .,

O 11 voit, à l’inspection de ces valeurs approchées, que

I'i8 GÉOM ÉTKIE.

P augmente avec n. Cette propriété est généralisée dans le théorème suivant.

Théorème IX.

311 . L'aire d'un polygone régulier, inscrit dans un cercle donné, augmente avec le nombre des côtés du po * lygone;

Autrement dit :

De deux polygones réguliers , inscrits dans un meme cercle, celui qui a le plus grand nombre de côtés est le plus grand en surface.

Soient AB, AC (fg- 170) les côtés de deux polygones réguliers, l’un de n côtés, l’autre de n -f- 1 côtés, inscrits dans un môme cercle de rayon AO. Menons BO et CO.

Le premier polygone se compose de n triangles, égaux à ABO , et le second polygone se compose de n t triangles, égaux à ACO. Cela étant, je dis que l’on aura

(n -+- t) ACO > «ABO.

Les deux triangles ABO, ACO ayant môme base AO , sont comme leurs hauteurs BB', CC' , et l’inégalité précédente revient à

(» -t- 1) CC' > «BB',

ou , en projetant B et C sur le rayon perpendiculaire à OA, CC' > «B"C".

Les arcs AB, AC sont respectivement - et — - - de la circonférence; donc

arc BC = ; = —, ; — 7

de cette môme circonférence, et

««BC = arc AC.

. . — Vv^ * V «P

^ •»** WP . .'*

.LIVRE (ÿUTRlÈME. lut)

Portons l’arc PC sur l’arc AC, et soient D, E, . . . les points de division. En projetant ces points, nous aurons, ainsi qu’il est aisé de le prouver, * • <"»

d'où, en ajoutait, --

C"0 > «B"G", ou enfin CC' > »B"C". .

Théorème X.