LIVRE QUATRIÈME
En continuant de la même manière, nous obtiendrons une série de nombres a, a', a ,. . . qui augmenteront indéfiniment, et qui, comme nous le vérifierons tout à 1 heure, tendront vers mie certaine limite A. Or, cette limite est ce que nous prendrons pour définition de l’aire ' du triangle ABC.
, « 23 . Pour justifier cette définition, et pour démon-
trer, dans ce cas très-simple, que l’aire de la. somme des rectangles a une limite, exécutons le calcul qui vient d’êjre indiqué.
En comptant les divisions à partir du sommet, soit MM la n représentant le nombre total des parties
contenues dans la hauteur h. Nous aurons, b étant la • base du triangle AB,
IK
. „ = - ' ou A il n
IK f= "‘bu
L’aire du rectangle IKI'K' sera donc
'• ?ax-=‘m.Ï. ■ *
n n fl’ J *
Si l’on fait successivement m= i, m= 2,..., m = n — 1, cette expression représentera l’aire du premier, du se- v coud, . . . , du dernier rectangle. Donc, en ajoutant ,
La quantité entre parènthèses a pour somme " v ; donc ’ - H
fi = 7 bh
Si // augmente indéfiniment, la fraction = 1
tend vers l’unité, qui est sa limite. Donc, a a pareillement une limite, laquelle est A = \ hh.
Nous retombons, de cette manière, sur l’expression connue de l’aire du triangle.
321. Considérons actuellement une ligure terminée -par une ligne courbe, et supposons, pour plus de simplicité, que cette ligne soit convexe.
Si, comme nous venons de le faire pour le triangle, nous inscrivons dans AI3CD (fig- 177 ) une série de rectangles, l’aire a de cette somme de rectangles tendra, quand on augmentera indéfiniment leur nombre, vers une limite A. Cette limite est ce que nous appelons aire de la surface AHCD.
325. En examinant le polygone EFGHIKLM. . . . formé par l’ensemble des rectangles inscrits dans ABGD, on voit que, le nombre de ceux-ci augmentant indéfiniment , les côtés de ce polygoue diminuent de pius en plus, de manière à devenir moindres que toute quantité assi-~ gnable. #
Tout autre polygone, jouissant de la môme propriété , pourrait également être employé. Par exemple, inscri- , vons dans la courbe ABCD ( Jig . 1 78 ) un polygone convexe MNPQR; puis faisons croître indéfiniment le nombre des côtés de ce polygone, de manière à les rendre tous aussi petits que nous voudrons : les aires successives obtenues de la sorte auront une limite, qui sera l’aire de AI1CD.
326. Nous venons d’indiquer deux modes principaux pour la détermination de l’aire dont il s'agit.
Mais alors se présente celte question : En employant des rectangles, comme dans le premier mode, et en employant des polygones, comme dans le second, arriverat-on à la même limite? El même, en conservant le second
