LIVRE QUATRIÈME. I 3t

procédé, comme on peut concevoir une infinité de séries de polygones, toutes ces séries conduiront-elles à la même limite?

La réponse est affirmative j mais la démonstration de l’identité des résultats ne parait pas être du ressort des éléments. Nous admettrons donc cette identité; et, sans nous préoccuper des differentes méthodes qui peuvent conduire à la détermination de l’aire d’une fignre plane, npus adopterons la définition suivante :

327. L'aire d'une figure plane terminée par une courbe est la limite des aires que V on obtient en inscrivant dans celte courbe une série de polygones convexes dont les côtés diminuent indéfiniment, de manière à devenir moindres que toute quantité assignable.

328. Si , après avoir inscrit dans la courbe un premier polygone convexe EFGH (fi g- 179 ), nous prenons sur chaque arc EF, GH,. . . un ou plusieurs points intermédiaires , nous formerons un second polygone dont le périmètre sera plus grand que celui du premier. En continuant de la sorte, nous obtiendrons donc une série de périmètres allant tous en augmentant. D’ailleurs, ces périmètres ne pourront pas devenir infinis, car chacun d’eux est moindre qu’une ligne brisée quelconque, enveloppant ABCD (SI). Cela posé :

329. La longueur d'une courbe convexe plane est la limite vers laquelle tendent les périmètres des polygones inscrits dans cette courbe, lorsque les côtés de ces polygones diminuent indéfiniment , de manière à devenir moindres que toute quantité assignable.