Remarque. — La première proposition s’énonce

encore de cette manière : •

Le plus court chemin entre deux points , sur un plan, est la droite finie qui joint ces deux points. Cet énoncé justifie l’expression de distance, par laquelle nous avons désigné la droite finie qui joint deux points.

De môme, nous avons appelé distance d'un point à une droite la longueur de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite , parce que cette perpendiculaire est plus courte que toute autre ligne plane , menée du point à la droite , etc.

333. Appliquons à la circonférence les considérations générales qui précèdent : clics se simplifieront considérablement.

XnÉonÉMF. XI.

334. Une circonjcrence étant donnée, on peut toujours lui inscrire ou lui circonscrire deux polygones ré-

r.IVRF. QIJATUH MI . I 4 *

guliers semblables tels , que la différence de leurs périmètres ou celle de leurs aires soit moindre qu'une quantité donnée quelconque. *

Inscrivons et circonscrivons à la circonférence deux polygones réguliers semblables; puis, doublons indéfiniment les nombres des côtés de ces deux polygones. Je dis que l’on pourra pousser l’opération assez loin ppur que la différence entre les périmètres des deux polygones auxquels on s’arrêtera soit moindre qu’une quantité donnée S.

Soient p et P les périmètres de ces deux polygones £ fig. 172 ), R le rayon OE, a l’apothème OF. On a

d’où P

Dans le second membre, le facteur P va en diminuant, le dénominateur R est constant; donc il suffit de prouver que R — a peut devenir moindre que toute quantité donnée. Or, R — a, ou AO — OF , est moindre que AF ; c’est-à-dire moindre que la moitié du côté du polygone inscrit Auquel on s’arrête; donc, etc.

La démonstration se ferait avec autant de facilité pour les aires?

335. Puisque la différence entre les périmètres des polygones semblables circonscrit et inscrit diminue indéfiniment, de manière à devenir moindre que toute quantité donnée, ces périmètres ont une limite commune. Il en est de même pour les aires. Et comme les formes des polygones réguliers inscrit et circonscrit s’approchent de plus en plus de celle du cercle lorsque les nombres des côtés de ces polygones vont en augmentant, nous adopterons les définitions suivantes :

33(i. i°. On appelle longueur de la arconjérence la

GfcOM liTllIK.

Jimile commune fers laquelle tendent les périmètres des polygones réguliers inscrits ou circonscrits; 2 ° on appelle aire du cercle la limite commune vers laquelle tendent les aires des polygones réguliers inscrits ou circonscrits.

Thkobèhe xn.

337. i°. Deux circonférences sont entre elles comme leurs rayons ; , • >

a°. Deux cercles sont entre eux comme les carrés de leurs rayons. ,

i°. Soient deux circonférences, ayant pour rayons R et r, et dont les longueurs soient C et c.

Inscrivons, dans «es deux circonférences, deux polygones réguliers semblables , ayant*pour périmètres P et p. JNous aurons (295)

Si nous augmentons indéfiniment les nombres de côtés des deux polygones, les périmètres P et p s’approcheront indéfiniment de C et c , qui sont les limites de des périmètres. D’ailleurs, le rapport entre les limites de deux quantités variables est la limite du rapport de ces quan' j ti tés (179) ; donc 4 - * ■' ,

2 °: Même démonstration.