LIVRE QUATRIEME

2 °. Une circonférence étant donnée de longueur , calculer, avec une certaine approximation . le rayon de cette circonférence.

349. Prenons pour unité le rayon du cercle, puis inscrivons et circonscrivons des carrés à cette figure. Les côtés de ces carrés seront respectivement, ainsi qu’il est facile de le reconnaître,

c = iv'â, c = 2.

Les périmètres seront donc

Par les formules du n° 318, nous pourrons, en partant de ces premières valeurs , calculer les périmètres p' et F des polygones réguliers de 8 côtés, inscrit et circonscrit ; puis les périmètres des polygones de 16 côtés, de 3 a côtés, etc. Les périmètres des polygones inscrits vont en augmentant, et ceux des polygones circonscrits vont en diminuant; d’ailleurs, la limite commune des uns et des autres est la longueur de la circonférence cherchée«(336) ; donc les décimales communes aux valeurs des périmètres de deux polygones correspondants quelconques appartiendront à la valeur approchée de 2 tr. Il suit de là que si l’on prend le nombre exprimé par ces décimales communes, et qu’on le divise par 2 , on aura à chaque instant, avec une approximation connue, l’expression approchée du rapport de la circonférence au diamètre.

La première question se trouve ainsi résolue ÿ quant à la seconde, sa solution est donnée par le théorème suivant.

Théorème XVII.

350. Une suite de nombres dont les deux premiers sont o et i, et dont les autres, à partir du troisième inclusivement, sont alternativement moyens par différence et moyens par quotient entre les deux qui les précèdent , a pour limite le rayon d'une circonférence égale à 4.

Considérons le carré dont le côté est t ; son périmètre sera 4 i et l’on aura , pour son apothème et son rayon ,

e = T. R = Wâ-

A l'aide des formules d = -j-(r -f- R), R' = y' R /•' (319), nous pourrons calculer l’apothème et le rayon d'un octogone régulier de même périmètre que le carré. Puis, nous obtiendrons l’apothème d’ et le rayon R" du polygone régulier de 16 côtés, dont le périmètre est 4 - Et ainsi de suite.

Nous avons trouvé précédemment (320)

d’où

R" - < (|)’(R - r), R" - r» < (i)>(R r),etc.

Ainsi, la différence entre un rayon et l’apothème correspondant décroît plus rapidement que les termes de

la progression , 4j, . . , ; do'nc cette différence peut

devenir moindre que toute quantité assignable; donc les rayons et les apothèmes ont une limite commune. D’ailleurs, comme la longueur d’une circonférence est toujours comprise entre les périmètres de deux polygones réguliers, l’un inscrit, l’autre circonscrit (335 et 336) , il s'ensuit que, dans la question actuelle, le rayon p de la circonférence égale à 4 est toujours compris entre un