I.IVRF. QUATRIEME

Eu efiet, la proposition u'a de sens qu'autaut que l’on suppose la figure, fermée de toutes parts. Donc cette figure est une portion finie de plan.

a°. Entre toutes les figures qui ont un périmètre donné , il existe un ou plusieurs maximums.

Cette proposition est évidente d’après celle qui précède.

3°. Une figure qui, avec un périmètre donné, renferme une aire maximum, est convexe.

Considérons, en effet, la figure non convexe AC1ÎD (fi g- i83). Si nous faisons tourner la partie rentrante AC B autour des points A et B, nous pourrons former une figure AC' B, ayant même périmètre que la première, et qui sera évidemment plus grande que celle-ci.

4°. Toute droite qui divise le contour d'une figure maximum en deux parties équivalentes , divise aussi fa surface de cette figure en deux parties équivalentes.

Soit ABCD ( fig . 184 ) une courbe qui, avec une longueur donnée, renferme une surface maximum . Supposons que la droite AB partage cette courbe en deux parties ACB, ADB, ayant même longueur.

Si la surface ABDA est plus grande que la surface ABCA, faisons tourner ADB autour de AB; nous obtiendrons une figure AD'BD, isopérimètre avec ACBD, et dont l’aire sera plus grande que celle de cette dernière figure. Donc ACBD ne serait pas un maximum.

5°. La remarque précédente fait voir que si ADBC est une ligure maximum, AD BD' en sera également une.

Cela étant, soit ADBD' (fig- 180 ) une pareille figure, composée de deux parties ADB, AD'B telles, que si l’on fait tourner la première autour de AB, elle coïncide avec la seconde.

Prenons, sur ADB, un point quelconque D; abaissons

sur AB la perpendiculaire DD , partagée au point F en deux parties égales ; menons DA, DI5, D'A et D'B.

Si les angles D et D' ne sont pas droits, transformons le quadrilatère ADBD' en un autre adbd ( fig . 186 ), ayant mêmes côtés que le premier, et dans lequel les angles d et d' soient droits. D’après le théorème I, ce dernier quadrilatère sera plus grand que l’autre. Si donc nous apportons les segments AED, DFB, etc., enaed, djb , etc., la figure uedfbg... sera plus grande que AF.DFBG. .. ; donc celle-ci ne serait pas un maximum.

Il suit de là que la courbe AF.DFB {fig. 185 ) est le lieu géométrique du sommet d’un angle droit, dont les côtés passent par les p>ints A, B. Donc cette courbe est une demi-circonférence (188 et 191).

Ainsi , dans la figure maximum ADBC {fig’ 1 84) , une moitié quelconque, déterminée par une droite telle que AB, est un demi-cercle. Donc la figure entière est un cercle.