PROBLÈMES RELATIFS AU LIVRE QUATRIÈME

Problème I.

Déterminer la côté d'un pentagone régulier dont l'aire est. donnée.

Soient P, c, R Faire donnée, le côté demandé, et le rayon du cercle circonscrit au pentagone; nous àvons trouvé (305 et 309)

c = | RV io — îV5, P = jR'Vo -t- ?V5-

l.a première formule donne

\ io — ayô

IIVRF. Ql' ATR IF MF.. l5l

En substituant celte valeur dans celle de P, nous aurons

P = ±A CK . i ,o . + . =

Si nous tirons de cette nouvelle formule la valeur de c*, il viendra

V to + 2^5

Pour simplifier celte expression, et la rendre applicable au calcul numérique, multiplions les deux termes de la

fraction par Vio — 2v/5; nous aurons

c , . p (5— y/5)y' 10 — 2^5 , p (5-^5)V f io-aV5

V ; ( i o + ?V5)C 1 ° — 2y5) , n (5- y / 5)y io -2 <J 5

T fi

•le divise les deux termes par y^5 , et je fais passer sous le radical le facteur y/5 — i ; ce qui donne

*' = { Pv (io — 2^/5 )(6 — 2 y 5 ) = i P \/(5 — ) (3 — y/5 )

ou enfin

Comme application, supposons que la surface du pentagone régulier soit de 27 centimètres carrés, et proposonsnous de trouver, à moins de 1 millimètre , la valeur de son côté.

Prenant le centimètre pour unité, nous aurons

P = 27, c 1 = -±^-\5 — 2y^, c = Vf- 27V 5 — 2 y 5 = — 2 y/ 5 ;

et cette dernière quantité devra être calculée à moins de o,i.

Le facteur ‘ étant presque égal à l'unité, nous calculerons l’autre à moins de o,o5 ; en outre, ce second facteur étant plus grand que l’unité , il nous suffira, d’après un principe démontré en arithmétique, de déterminer

i5 V5— aussi à moins de o,o5.

Ason tour, la quantité 1 5 V5 — 2^5 = Vna5 — 4^oV^5 est plus grande que l’unité : nous atteindrons donc l’approximation demandée si nous déterminons , à moins de o,o5, la quantité incommensurable ii25 — 4^o ^5 = na5 — io >/ ioia5.

Enfin, à cause du multiplicateur io, nous devons calculer , â moins de o,oo5 , la racine carrée de toi a5.

En effectuant , on trouve, à ce degré d’approximation,

y ioi 25 = 100,62 ;

donc

1125 — 45 o ^5 = 118,8; Vi 12 5 — 4 ^o ^5 = 10,9;

Le côté du pentagone régulier sera donc , à moins de 1 millimètre, o m ,o39.

Problème II.

Construire un pentagone régulier équivalent à un carré donné.

La question se réduit évidemment à déterminer le côté du pentagone. Or, si m est le côté du carré donné, le problème précédent donnera , en remplaçant P par nè ,

c‘ = ±iir\/5 — 2 ^ 5 ;

don