LIVRE CINQUIÈME. I ’ jî
EF ou PQ en un point G, et sera perpendiculaire à EF (91).
Il résulte de là que AB est perpendiculaire à une droite quelconque tnenée par son pied, dans le plan PQ; donc, etc.
Théorème XXIV.
•109. Deux plans perpendiculaires à un troisième , et passant par deux droites parallèles (non perpendiculaires à ce troisième plan) , sont parallèles entre eux.
Si ces plans se coupaient, leur intersection serait à la fois parallèle aux droites données (386), et perpendiculaire au plan donné (100); ce qui est absurde.
Théorème XXV.
110. Deux plans parallèles à un troisième sont parallèles entre eux.
Soient deux plans Met N parallèles à un plan P. Menons une droite perpendiculaire à ce dernier plan; elle sera perpendiculaire aux deux autres (108); donc ceux-ci sont parallèles entre eux (-101).
Théorème XXVI.
11 1 . Si deux plans sont parallèles , tout plan perpendiculaire à l’un est perpendiculaire à l'autre.
Soient M, N deux plans parallèles, et soit P un plan perpendiculaire à M. Je dis qu’il sera perpendiculaire à N.
Par un point commun à P et M, menons une perpendiculaire à ce dernier plan. Cette droite , contenue dans P (39î>, 2 °), sera perpendiculaire à N (108). Donc le plan P, mené suivant une perpendiculaire à N, sera perpendiculaire à ce dernier plan (396).
Thorème XXVII.
412. Les parallèles comprises entre plans parallèles sont égales.
Soient AB, CD (Jig. ao^dcux droites parallèles, terminées aux deux plans parallèles MIV, PQ. ïc dis que AB = CD.
Imaginons le plan de ces deux droites ; il coupe les deux autres plans suivaut deux parallèles AC, BD (406); donc la figure ABCD est un parallélogramme; donc AB = CD.
413. Corollaire. — Deux plans parallèles sont partout également, distants.
La distance de deux plans parallèles doit, comme nous le verrons plus loin, s’estimer par la longueur de la perpendiculaire commune à ces plans, terminée à l’un et à l’autre. Or, cette longueur est la même pour toutes les perpendiculaires que l’on peut mener aux deux plans.
Théorème XXV1U.
414. Si deux angles BAC, B A C' ( fig. ao8), non situés dans un même plan, ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, ces angles sont égaux , et leurs plans sont parallèles.
Prenons AB = A' IL, AC = A'C' ; menons AA', BB', CC', BC et B'C'.
La figure ABA'B', qui a deux côtés égaux et parallèles, est un parallélogramme ; donc AA' et BB' sont égales et parallèles. De même pour AA' et CC'. Donc les droites BB'j CC', égales et parallèles à AA', sont égales et parallèles entre elles ; donc la figure BCB'C' est un parallélogramme , et BC = B'C'.
Pa r suite, les deux triangles ABC, A B'C sont égaux
