LIVRE CINQUIÈME

sont supplémentaires (c’est-à-dire que leur somme est égale à deux dièdres droits). Lorsque deux plans parallèles sont coupés par un troisième , les angles dièdres correspondants sont égaux , etc.

Nous énoncerons en particulier le théorème suivant :

Théorème XXXTV.

439. i°. Tout point pris sur le plan bissecteur d'un angle dièdre est également distant des faces de cet . angle ;

i°. Tout point situé dans l'angle , extérieurement au plan bissecteur , est inégalement distant des faces. (Voyez n° 75.)

TnÉonÈME XXXV.

•440. Si, d'un point O (fig. 219 ), pris dans l'intérieur d'un angle dièdre MNPQ , on abaisse des perpendiculaires OA, OB sur les deux faces, V angle de ces perpendiculaires sera le supplément de l'angle dièdre.

Cet énoncé signifie que l’angle des perpendiculaires sera supplémentaire de' l’angle plan correspondant à l'angle dièdre. On doit entendre de la même manière les énoncés des théorèmes qui terminent ce paragra phe.

Le plan des deux droites OA, OB, perpendiculaire aux faces MN, PQ (396), est perpendiculaire à leur intersection N P (400)-, donc il coupe les faces suivant des droites CA, CB perpendiculaires à NP ; et l'angle ACB mesure l’angle dièdre MNPQ. Or, le quadrilatère OACB ayant deux angles droits A et B, les angles O et C seront supplémentaires; donc, etc.

Théorème XXXVI.

441 . Si , d'un point O' (fig. 220 ) , pris dans l’intérieur d un angle triedre OABC , on abaisse des perpendicu-

laites sur les faces île cet angle, onobtiendra'un nouvel angle trièdre O A' B C', dont les faces seront les suppléments des angles dièdres du premier ; et les angles dièdres, les suppléments des faces du premier angle trièdre.

La première partie de Ja proposition vient d’être démontrée.

Relativement à la seconde, il suffît d’observer que, d’après le théorème précédent, l’angle, trièdre OABC a ses arêtes perpendiculaires aux faces de l’angle trièdre OABC; donc, les faces du premier sont les suppléments des angles dièdres de l’autre.

4i2. Scohe. — Désignons par A, B, C les angles dièdres du premier trièdre, et par a , b , c les faces opposées. Désignons de même par A', B', C’ les angles dièdres du second trièdre, et par a, b’, c ses faces. Nous aurons, en prenant l’angle droit pour unité,

A -H a' ep 2, A' ■+■ a = 2,

443. A cause des relations précédentes, les angles trièdres O et O' sont dits supplémentaires.

Théorème XXX VO.

444. Dans tout angle trièdre S (fg.jxzi), une face quelconque est : i° plus petite que la somme des deux autres 2 0 plus grande que leur différence.

Il suffit évidemment de faire voir que la plus grande face est moindre que la somme des deux autres.

Soit ASB cette plus grande face. Menons, dans son pian, la droite SC', de manière que l’angle ASC'= ASC. Traçons arbitrairement, dans le même plan, la transversale AB; prenons SC = SC\ et tirons CA et CB.

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