LIVRE SIXIÈME

POLYEDRES QUELCONQUES.

Théorème X. *

480. Deux polyèdres sont égaux , lorsqu'ils sont composés d’un même nombre de tétraèdres égaux , chacun à chacun , et semblablement disposés.

Observous d’abord qu’un polyèdre convexe quelconque peut se décomposer en tétraèdres ayant un sommet commun.

Prenons, dans l’intérieur de ce polyèdre, un point quelconque O, et menons de ce point des droites à tous les sommets. Puisque le polyèdre est convexe, chacune de ces droites n’aura de commun, avec la surface polyédrale, que le sommet où elle se termine. D’après cela , les droites qui, partant du point O, aboutissent aux sommets d'une même face, détermineront une pyramide ayant pour base cette face, et pour sommet le point O. Ainsi, le polyèdre est déjà décomposé en pyramides ayant un sommet commun , et dont les bases sont les faces du polyèdre. Or, une pyramide est toujours, ou un tétraèdre, ou décomposablc en tétraèdres: donc, etc.

En second lieu, si l’on coupe un polyèdre non convexe par des plans convenablement choisis, on pourra toujours le décomposer en polyèdres convexes. Donc, un polyèdre quelconque est décomposable en tétraèdres.

Actuellement, soient deux polyèdres P et F, composés d’un même nombre de tétraèdres, égaux chacun à chacun, et assemblés de la même manière. Je dis que ces deux polyèdres sont égaux.

Transportons P sur P, de manière qu’un premier tétraèdre A' coïncide avec son égal A. Soit B' un tétraèdre ayant, avec A', une face commune, et soit B l'homologue de B'. Ces deux tétraèdres égaux, ayant une face

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commune , et étant situés d'un même côté de cetle face, devront coïncider. Et ainsi de suite.

Lenme.

481 . Si une surjace poljédrale convexe est terminée à une ligne brisée, dont les côtés soient ou ne soient pas dans un môme plan, le nombre des faces , plus le nombre des sommets, égale le nombre des arêtes plus i.

Désignons par F le nombre des faces , par S le nombre des sommets , et par A le nombre des arêtes. Il s’agit de faire voir que

Cette formule est vraie dans le cas de F = i ; car alors S = A<. Admettons donc qu’elle ait été vérifiée pour F faces, et démontrons qu’elle subsiste pour F -f - 1 faces.

Soit ABC. . . {fig- a3o) la ligne brisée qui termine la surface. Construisons, sur le côté AB, une nouvelle face, composée de « sommets et de n côtés. Si cette face a m côtés communs avec ABCD . . . , elle aura m 4- 1 sommets communs avec celte même ligne; car on suppose que le nouveau polygone ne ferme pas complètement la surface, et qu’il laisse une seule ouverture. De cette manière, les nombres F, S, A deviendront respectivement

F' — F -f- i , S' — S -f- « — (w -t- i ), A' — A -H n — ru , d’où, à cause de la formule ci-dessus,

L1VBE SIXIÈME.

TllÉUKÈME \I.

482. Dans tout polyèdre convexe, le nombre F des faces , plus le nombre S des sommets , égale le nombre A des arêtes plus a ; c’est-à-dire que

Enlevons une face du polyèdre; nous aurons une surlace polyédralc ouverte, terminée à une ligne brisée, et dans laquelle les nombres de laces, de sommets et d’arètes seront respectivement F — i , S, A ; donc , d’après la proposition précédente , F — i + S = A -+■ i ; etc.

Ce théorème remarquable , dû à Euler , a un grand nombre de conséquences, parmi lesquelles nous indiquerons seulement les suivantes.

483. I er Corollaire . — Dans tout polyèdre convexe : i° les faces d’un nombre impair de côtés sont toujours en nombre pair 2 ° les sommets auxquels aboutissent un nombre impair d’arêtes sont toujours en nombre pair.

Soient respectivement a, b , c, </,... le nombre des faces triangulaires, quadraugulaires, pentagonales,...; représentons de même par a, /3, y, d,... le nombre des angles trièdres, tétraèdres, pentaèdres,...; de manière que

Chaque arête appartient à deux faces, et aboutit à deux sommets ; si donc nous comptons, soit le nombre des côtés de toutes les faces, soit le nombre des arêtes de tous les angles polyèdres, nous allions le double a A du nombre des arêtes ; ainsi

2 A = 3fl -t- 4 b -4- 5r -4- 6 d -f- ’jc...,

Or, ces deux dernières égalités exigent évidemment que a-f-c + e-f-... et a — f- y — |— e— (— . . . soient des nombres pairs.

■48t. a' Corollaire. — Dans tout polyèdre convexe de F faces, le nombre S des sommets, et le nombre A des arêtes, satisfont aux conditions

S =|F A =fF.

Les valeurs de F, S et a A, écrites plus haut, donnent

donc

Cette dernière relation devient, par le théorème d’Euler,

Remplaçant A par F S — 2 , on obtient les deux autres conditions.

483. Il est facile de construire des polyèdres dans lesquels le nombre des sommets soit, d’après les relations précédentes, le plus grand ouïe plus petit possible. En effet :

t°. Dans un prisme ayant F faces, le nombre des côtés de la base est F — 2 ; donc le nombre S des sommets du polyèdre est 2 (F — 2 ).