LIVRE SIXIÈME

plus, BF, = B'E'; donc E'E == B' B 5 ainsi les sommets E et B coïncideront. On démontrerait de même que les sommets D et F coïncideront avec A et C. Donc les deux prismes., qui se composent du même polyèdre A B CD' E' F', augmenté de deux parties égales, sont équivalents.

Actuellement, les deux parallélogrammes BCEF, B'C'E'F', de même base et de même hauteur, ont des aires égales; donc le prisme oblique, équivalent au prisme droit, aura pour mesure la moitié de BCEF, multipliée par la distance de cette face à l’arête opposée.

194. I er Corollaire. — Un prisme oblique est équivalent au prisme droit qui a pour base la section droite du prisme oblique , et pour hauteur son arête latérale.

Cette proposition vient d’être démontrée pour le prisme triangulaire. Or, un prisme à base polygonale peut toujours se décomposer en prismes triangulaires; donc, etc.

495. a c Corollaire. — Un prisme triangulaire a pour mesure sa section droite, multipliée par son arête la- « térale.

Soit GHI (fig. 235) la section droite du prisme. Abaissons du point G la perpendiculaire GL sur HI : elle sera perpendiculaire à la face BCEF (398). Or,

vol. prisme = 7 BCEF X GL = j-BE X HI X GL = HGI X BE.

490. 3' Corollaire. — Un prisme quelconque a pour mesure sa section droite , multipliée par son arête latérale.

497. 4 e Corollaire. — Un prisme droit quelconque a pour mesure sa base multipliée par sa hauteur.

ioS

Théorème XVI.

498. Un prisme quelconque a pour mesure le produit de sa hase par sa hauteur.

i°. Soit d’abord un parallélipipèdc ayant pour base

ABCD (Jig- 236), et pour hauteur FI.

Menons un plan par les deux arêtes opposées AD ,FG : nous décomposerons le parallélipipèdc en deux prismes triangulaires équivalents entre eux; car chacun d’eux aura pour mesure la base du parallélipipèdc , multipliée par J- FI. Donc , en ajoutant ,

vol. parallél. = ABCD x FI.

2 °. Soit le prisme triangulaire AEFDHG, moitié du parallélipipèdc.

En abaissant FL perpendiculaire sur DHG , nous aurons

vol. parallél. = CDHG X FL;

donc

Vol. prisme = DHG X FL.

3°. Soit enfin un prisme quelconque.

On pourra toujours le décomposer en prismes triangulaires ayant même hauteur que lui. Or, chacun de ces prismes a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur ; donc, etc.

499. I er Corollaire. — Si, de T un des sommets d’un parallélépipède, on abaisse des perpendiculaires sur les trois faces non adjacentes, le produit de chaque perpendiculaire par la face correspondante est constant.

500. 2 e Corollaire . — La base d’un prisme est à la section droite, comme l'arête latérale est à la hauteur.