ABC = DEF

t.IVKF. SIXIÈME.

donc

Actuellement, sur les triangles A'B'C', A"B"C", . . . pris pour bases , construisons , comme i I a été di t ci-dessus , des prismes intérieurs au tétraèdre S. De même, sur les trian- » gles DEF, D"E"F", pris pour bases, construisons des prismes intérieurs au tétraèdre T. Chaque prisme de S sera équivalent au prisme qui lui correspond dans T ; car ces deux prismes ont des bases équivalentes et des hauteurs égales. Par suite, les deux sommes de prismes ont même volume; donc, d’après les définitions adoptées (502, 504), les deux tétraèdres S et T ont des volumes égaux ou sont équivalents.

• Tiiéoiième XVIII .

506. Toute pyramide est le tiers du prisme, de même base et de même hauteur. ’

i°. Soit d’abord un prisme triangulaire ABCDEF ( fig. 239 ). Menons un plan par le sommet E et par l’arête AC. Nous retrancherons un tétraèdre EABC ayant même base et même hauteur que le prisme, et il nous restera une pyramide ayant pour base ACDF, et pour sommet le point E.

Menons un plan suivant AE, EF; il décomposera la pyramide quadrangulairc en deux tétraèdres équivalents entre eux, car ils ont pour bases les triangles égaux ADF, ACF, situés dans un même plan ; de plus, ces tétraèdres ont même sommet E ; donc ils ont même hauteur.

Actuellement, les deux tétraèdres ADEF, EABC ont même base et même hauteur que le prisme; donc ils sont équivalents.

Il suit de là que les trois tétraèdres qui composent le prisme sont équivalents entre eux; donc chacun d’eux est le tiers du prisme.

ara

2 °. Si l’on considère un prisme quelconque , et la pyramide qui a même base et même hauteur que lui , on pourra décomposer ces deux coq», l’un en prismes triangulaires, l’autre en tétraèdres, ayant, chacun à chacun, .même base et même hauteur; donc, etc.

507. Corollaire. — Toute pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

508. Remarque. — Le calcul indiqué au n° 502 conduit facilement à l’expression du volume d’une pyramide quelconque.

Soit B la base de cette pyramide , et soit H sa hauteur. Divisons H en « parties égales, puis, ainsi qu’il a été dit plus haut, construisons n — i prismes intérieurs. La base

d’un quelconque d’entre eux sera, d’après le n°468, B

k représentant le rang de ce prisme , compté à partir du

sommet. Le volume de ce même prisme égale BH — .

Donc , la somme des prismes aura pour mesure

On trouve, par les éléments d’ Algèbre, que la quantité entre parenthèses égale j(n — i)n(a« — i) : conséquemment, l’expression précédente devient

iBH

= y RH —

Lorsque n augmente indéfiniment, le facteur - tend

vers l’unité, et le facteur — =2 — - tend vers 2 .

Donc, le volume de la pyramide sera