I.IVRE SIXIÈME

Théorème XIX.

509. Tout prisme triangulaire tronqué est équivalent à la somme de trois tétraèdres ayant pour hase commune r une des bases du tronc, et pour sommets ceux de la base opposée.

On appelle tronc de prisme le corps que l’on obtient en coupant un prisme par un plan non parallèle à sa base.

Soit le prisme triangulaire tronqué ABCDEF( - /îg. 240 ). Menons , par le sommet E , et par l’arête AC , un plan AEC ; nous aurons un premier tétraèdre ABCE, ayant pour base ABC et pour sommet le point E.

Ensuite , la pyramide quadrangulairc ACDFE peut se décomposer en deux tétraèdres ADFE, ACFE. Or la droite BE est parallèle au plan ADFC ; donc ces deux tétraèdres équivalent respectivement aux deux tétraèdres

ADFB, ACFB.

Le dernier, ACFB, peut être considéré comme ayant pour base ABC et pour sommet le point F.

Enfin, le tétraèdre ADFB est équivalent à ABCD, attendu que l’arète FC est parallèle au plan DABE.

Nous voyons donc que le prisme tronqué est équivalent à la somme des tétraèdres ABCE, ABCF, ABCD; donc, etc.

510. 1 " Corollaire. — Un prisme triangulaire tronqué a pour mesure le produit d'une de ses bases par le tiers de la somme des trois perpendiculaires abaissées sur celte base, de chacun des sommets de la base opposée.

511. 2 e Corollaire. — Un piisme triangulaire tronqué a pour mesure le produit de sa section droite par le tiers de la somme des arêtes latérales.

>Jl4 GÉOMÉTRIE.

TllÊOnÉME XX.

512. Un tronc de pyramide, à bases parallèles, est équivalent à la somme de trois pyramides ayant pour hauteur conunune celle du tronc , et pour bases respectives la base inférieure du tronc, la base supérieure, et une moyenne proportionnelle entre les deux bases.

i". Supposons d'abord la pyramide triangulaire S ( Jig . a4 1 ), coupée par un plan parallèle à la base ABC, lequel détermine le tronc ABCDEF.

Menons , par les droites AE, EC, le plan AEC., qui détachera du tronc le tétraèdre A BCE. Coupons ensuite la pyramide quadrangulaire ACDFE par le plan DEC ; nous la décomposerons en deux tétraèdres DEFC, DACE. Le premier satisfait évidemment à l'énoncé.

Quant au tétraèdre DACE, si nous menons par le point E une parallèle EG à DA , nous le transformerons en un tétraèdre équivalent DACG, lequel pourra être considéré comme ayant pour base AGC et pour sommet le point D. Il reste donc à faire voir que le triangle AGC est moyen proportionnel entre ABC et DEF.

Or, les deux triangles. AGC, ABC, qui ont un angle égal adjacent à un côté égal , sont entre eux comme les deux autres côtés (274); ou