LIVRE SIXIÈME. aa

Si, des points S', S", S", nous abaissons des perpendiculaires sur les côtés correspondants , ces trois droites devront se couper en un même point P, projection du sommet inconnu. En outre, la hautcAr SP ( fig. 248) est un côté de l’angle droit du triangle APS, dans lequel AS = AS" est l’hypoténuse. Si donc nous décrivons une demi-circonférence sur AS" comme diamètre, si du point A comme centre, nous traçons l’arc PD, et si nous menons S"D, cette droite sera la hauteur demandée.

Si les arêtes sont données en nombres, on pourra calculer, d’après cette construction , l’expression de la hauteur du tétraèdre. La formule étant assez compliquée, nous allons la chercher seulement dans quelques cas particuliers.

i’ ,r Cas. — Supposons que les arêtes SA, SB, SC soient égales entre elles. Alors le point P, projection du sommet S, est évidemment le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; et la droite AP est le rayon R de ce cercle. Si donc nous représentons par a, b , c les côtés BC , AC, AB -, par â la longueur commune des arêtes ; par h la hauteur cherchée; et par A l’aire delà base ABC; nous aurons

A = -îV(a + 4 + t)(»+ b — c)(o c — b) [b c — a),

• abc

R = ( 28| )> h — \js : — R>.

Le volume sera donné ensuite par la formule V = 7 AA ;

ou, en faisant les substitutions indiquées,

V= ~ ^(a-{-b -+- c)(a4-è — r)(fl -f-r — b){b -+- c — a jî 1 — a*b'c‘.

2' Cas. — Admettons que le triangle ABC soit isos-

cèle ; alors les valeurs qui précèdent deviendront, en prenant c = b,

3 e Cas. — Si, pour particulariser davantage, nous supposons le triangle ABC équilatéral, nos formules se simplifieront encore-, elles deviennent en effet, en faisant b = a.

4' Cas. — Enfin , supposons qde toutes les arêtes du tétraèdre deviennent égales entre elles -, alors ce tétraèdre sera dit régulier, et les formules qui viennent d’être écrites deviendront , par l’hypothèse de d = a,

A = iW 3 , R = -~=* b = a y/}, V = *W 2 - V3

Observons que ces différents cas , que nous venons de déduire les uns des autres , peuvent tous être obtenus directement, par des considérations fort simples.

Problème II.

Partager un tronc de pyramide en parties proportionnelles h des nombres donnes , par des plans parallèles aux bases.

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