livre si xi i m r
<-<■ problème; analogue à celui que nous avons résolu pour le trapèze (Livre III, problème XII), n’est pas susceptible cl une solution graphique fondée seulement sur I emp o. de la règle et du compas. Nous allons donc ’cherc 1 er les expressions algébriques des diflèrénts segments e la hauteur du tronc de pyramide, ce qui permettra dans chaque cas particulier, de calculer les valeurs numériques de ces lignes.
Soient B, b les deux bases, et II la hauteur du tronc. Supposons , pour fixer les idées, que ce polyèdre doive être partage en Dois parties proportionnelles h m, n pet soient x, ,jr, z les hauteurs de ces segments.
Prolongeons les faces latérales du tronc de manière à reconstruire les deux pyramides dont il est la dillërencc. Soit h la hauteur inconnue de la plus petite pyramidealors H + h sera la hauteur de la plus grande.
Soient actuellement B' et B" les aires des sections laites dans le tronc par les plans parallèles aux bases; nous aurons (468) ,
et ensuite (513)
v'BB' -+- B') J
(B 4 - v'B b ■ (b' + \Ji PîF
v/ba
(B 4- y^Bè 4- 6 )H n ‘ -t- « 4 - p
Les premières proportions donnent facilement
v B — VB - y/B' y/B' - y/F __ y/Ër yT fr
d’où
^.jÆzÆ, ,-.
\/B — 0* 01 — \jb*
. ‘ — ~ v^-yfr .
En substituant ces valeurs dans les autres proportions , on obtient
.. B"y/r- & \fb
La dernière équation donne
JL
puis , la seconde ,
[(« -t- />; B ^B -+- mb fb\.
m -t- 'fc -4- p
Si l’on forme les carrés des deux membres, dans chacune de ces dernières équations , et qu’ensuite on extraye la racine cubique, on aura les valeurs de B" et B'; après quoi de simples substitutions donneront les expressions définitives de x, j, z. Ce dernier calcul n’offrant plus de difficulté, nous laisserons au lecteur le soin de l’effectuer.
Problème III.
Par les milieux E, F de deux arêtes opposées d’un tétraèdre ABCD (fg- 200 ) , on fait passer une infinité
UVHF. S1XUME. ' à9.^
de plans. Quel est relui qui détermine la section la plus petite en surface ?
Soit EGFH le quadrilatère déterminé par l’un quelconque des plans sécants. Meuons la diagonale EF, et ' " abaissons, par les sommets G, H, les perpendiculaires GG', HH' sur FE. Le quadrilatère a pour mesure
