EF X (GG' H- HH

Or, si le plan sécant tourne autour de EF, le facteur GG' + HH' variera de grandeur, l’autre étant constant. *

Il suit de là que le quadrilatère EGFH sera minimum, lorsque la somme des perpendiculaires GG', I1H sera la plus petite possible. ;

Par la droite EF, nous pouvons mener un plan P, parallèle aux arêtes AC, BD. Généralement (420), les droites GG', HH', parallèles entre elles, sont des obliques à ce plan ; leur somme sera donc un minimum lorsqu’elles seront perpendiculaires. Alors GG' sera la commune perpendiculaire aux droites BD, EF ; HH' sera la com- . mune perpendiculaire aux droites EF, AC ; et le nlan EGFH sera perpendiculaire à P.

Ainsi , pour résoudre le problème proposé :

Faites passer par la droite EF, un plan P, parallèle aux arêtes AC, BI); par cette même droite, menez un plan perpendiculaire au premier : il déterminera la section minimum.

Observons , en terminant, que le plan P esta égale* distance des arêtes AC, BD, et que, par suite, les droites GG', HH' sont égale entre elles.

Problème IV

Étant donne un parallélipipèdc , dont toutes les faces sont des losanges égaux, on demande le volume de ce polyèdre, en fonction des diagonales des faces.

GTÎOMT-TBIE.

Ce parallélipipèdc, dont le cube est un cas particulier, porte, en Cristallographie, le nom de rhomboèdre, parce que le losange est qpssi appelé rhonibe.

Imaginons qu’au sommet A du rhomboèdre (./%• 25 1) se réunissent trois angles plans égaux BAD, I)AE, EAB; et, pour fixer les idées, supposons que ces angles soient obtus. Alors, si nous menons BD, DE, EB, ces droites seront les grandes diagonales des faces AC, AH, AF; de plus, elles seront égales, puisque les faces sont des losanges égaux.

Par ces trois droites, faisons passer un plau BDE ; nous obtiendrons un tétraèdre A BDE équivalent au sixième du rhomboèdre.

En effet, le tétraèdre ABDE est équivalent à la moitié de la pyramide quadrangulaire ayant pour base ABCD ' et pour sommet le point E, et cette pyramide est le tiers du parallélipipède. ^

Nommons g la grande diagonale DE, et p la petite diagonale AH ; nous aurons

AB = AD = AE = -j: \/g' -P />’•

Par suite, la formule trouvée dans le troisième cas du second problème nous donnera, pour le volume du tétraèdre,

. - TT g’ W —

* Ee volume du rhomboèdre sera donc

V = g 1 vV - g'-

Remarques. — i°. Le rhomboèdre que nous venons de considérer est appelé rhomboèdre obtus.

• JJ es t facile de voir qu’avec les mêmes faces on peut généralement former un autre rhomboèdre dans lequel Tes trois angles plans égaux qui se réunissent en un même