LIVRE SIXIÈME. » * 22Q

sommet , seront aigus. Le volume <le ce rhomboèdre aigu sera , d’après la formule précédente , et en y permutant les lettres,

a°. Le premier rhomboèdre est toujours plus petit que le second , excepté quand p — g\ alors les deux polyèdres se transforment en cubes égaux.

3°. Observons encore que V deviendrait imaginaire si l’on avait 3 p x < g' ; donc le rhomboèdre obtus 11 ’est possible que si le rapport de la grande diagonale à la petite est inférieur à \/3. ,

, Problème V.

• Étant donné un dodécaèdre dont toutes les faces sont des losanges égaux , on demande le volume de ce polyèdre , en fonction de V arête. .

Ce polyèdre, qtte l’on rencontre dans la nature, est appelé dodécaèdre rhomboïdal. 11 est représenté dans la figure 252.

Imaginons qu’au sommet G se réunissent, par leur s angle obtus, trois losanges égaux. Les côtés de ces losanges, non adjacents à ce sommet, formeront une ligne brisée AIBKCL dont les côtés , parallèles deux à deux . ne seront pas dans un même plan. Par les sommets de cette ligne brisée , menons six droites parallèles entre elles, et égales à AI: les extrémités de ces droites seront les sommets d’une nouvelle ligne brisée DMENFP, égale à la première. Enfin, sur cette ligne prise comme ... base, appliquons une surface polyédrale DM. . .PH, égale à LC... AG fie dodécaèdre sera formé; et, si la direction AD a été convenablement choisie, toutes ses faces seront égales entre elles.

Ce qui précède ayant seulement pour objet de faire concevoir la forme du dodécaèdre rhomboïdal, supposons ce polyèdre construit, ët examinons quelles sont les conditions qui pourront servira le déterminer en effet.

» Par le sommet G, je mène, dans l’intérieur du corps, une droite GS, égale et parallèle aux arêtes latérales AD, IM. . . . J’unis le point S aux sommets D, E, F par les droites SD, SE, SF, et j’obtiens de la sorte quatre polyèdres que l’on voit, séparés les uns des autres, dans la figure 253.

Il est visible que ces polyèdres sont des rhomboèdres ; je dis , en outre, que ces rhomboèdres sont égaux.

En effet , si les trois angles égaux AGB, BGC, CGA ( Jig . 252)sont obtus, les deux angles MI A, ÎSIIB (Jig . a53) seront égaux aux premiers; donc, dans le rhomboèdre AE, les trois angles plans qui se réunissent en I sont obtus. De même, dans les rhomboèdres CD, CE, SH, les angles plans en L, K et S sont obtus. D’ailleurs tous ces angles sont égaux ; donc, etc. ,

Observons actuellement que, dans les trois rhomboèdres CD, CE, AE, les angles dièdres suivant GS sont égaux , comme opposés aux angles dièdres suivant LP, KN, IM, lesquels sont égaux entre eux (438 et 453). Chacun de ces angles dièdres vaut donc les ~ d’un angle *' dièdre droit.

Cela étant, faisons passer un plan suivant les sommets A, B, M; nous détacherons du dodécaèdre le tétraèdre ABMI(yîg. 2.54), danslequel chacun des angles dièdres AI, u

BI, MI vaut Ï-. Abaissons, du sommet I, la perpendicu-

lai re 10 sur le plan du triangle équilatéra^ABM. Menons aussi les droites BT, MT perpendiculaires sur l’arête Al : elles se couperont en un même point, parce que les triangles AIB, AIM sont égaux; et, comme l’angle de