C.ÉOMKTRIF

Multipliant cette quantité par 4i nous obtiendrons définitivement, pour le volume cherché,

PnOBLÈMK V^I.

Un cube étant donné (fi g. a55) , on prend , sur ses arêtes et à partir des sommets , les distances El, EK, EL, AM,... égales entre elles. On mène les plans * . A1F, HLF, AKH, . . . , lesquels déterminent un polyèdre

. ayant pour faces vingt-quatre quadrilatères égaux. On demande d'évaluer la surface et le po/ume de ce corps. •

- , Le polyèdre obtenu par la construction qui vient d’être , indiquée appartient, comme le rhomboèdre et le dodécaèdre rhomboïdal , à la Cristallographie. Ou l’a appelé *■ trapézoèdre. 11 est représenté dans la figure 256.

Soit O (fi g- 2 5 5) le centre du cube : toutes les laces du trapézoèdre sont évidemment à la même distance de ce centre. Prenons le point O pour sommet commun de pyramides ayant pour bases les faces du polyèdre : toutes ces pyramides auront même hauteur. Si donc, comme nous le verrons plus loin, elles sont égales entre elles, il suftira d’évaluer la base de l’une d’elles, ainsi que leur hauteur commune.

Prenons à part (Jîg. 25 y) le tétraèdre A1FO qui a pour base la section AIF faite dans le cube par l’un des plans limitant le trapézoèdre. Désignons par a l’arête du cube, et par b la distance constante IE ( fig . a55), laquelle est supposée moindre que {-«. IVous aurons, ainsi qu'il est facile de le voir,

AF = it ^ 2 , IA — IF =r ^ a : -4- b

OF — OA — j A(V = -t afi 3 ; ,

UVRF. SIXIÈME.

puis

Soit N (fig. ify) le milieu de AF; menons EN ; abaissons OP perpendiculaire sur cette droite : OP sera la liauteurcommune de nos pyramides. Abaissons aussi IQ perpendiculaire sur ON. Nous aurons, dans le triangle OIN,

ON

OP = IQ