SURFACES COURBES

PRÉLIMINAIRES. . ' • -

830. Nous avons vu. que le plan peut être engendré, soit par une droite glissant sur-une droite donnée et restant parallèle à une droite donnée (391), soit par une droite qui est toujours perpendiculaire à une même droite en un même point (366).

Cette manière de considérer le plan comme engendré par le mouvement d’une ligne, a été étendue à toutes les surfaces; et l’on est arrivé alors à la définition sui- . vante :

Une surface est le lieu des positions que prend une ligne qui change de position et même de forme,' d’après une loi déterminée.

Pour éclaircir cette définition, nous allons prendre quelques exemples simples.

531. Surfaces cylindriques. — Si une droite DE (fig- aSg) se meut en s’appuyant constamment sur une ligne fixe ABC, et en restant parallèle à une droite donnée MN, le lieu des positions de la droite mobile est une surface cylindrique. •

La droite mobile, qui engendre la surface cylindrique, se nomme génératrice : ainsi, DE, D'E', D" E", . . . sont différentes positions de la génératrice. La ligne fixe ABC,

qui règle le mouvement de la génératrice , est appelée directrice.

Si cette directrice est rectiligne, la surface cylindrique devient un plan.

532. Prenons pour directrice une circonférence de cercle ABC {fig- 260 ), et pour génératrice une perpendicula it% au plan de cette circonférence; supposons aussi que la surface cylindrique soit terminée au plan AlîÇ et à un plan A'B'C' parallèle au premier : le corps terminé par ces deux plans et par la surface cylindrique sera un cylindre droit, à base circulaire .

533. Surfaces coniques. — Une surface conique est engendrée par une droite assujettie a s’appuyer sur une ligne fixe ABC {fig- 261 ), et à passer par un point fixe O. Chaque génératrice DO, D'O, . . . pouvant être prolongée indéfiniment de part et d’autre du point O, on voit que la surface est formée de deux parties, ou de deux nappes. Le point directeur O, où ces nappes se réunissent, est appelé centre de la surface.

534. Choisissons, pour directrice de la surface conique , une circonférence ABC {fig- 26 a) ; plaçons le point directeur sur l’axe JS de la circonférence : le corps limité par le plan ABC et par la nappe inférieure de la surface conique , est un cône droit , à base circulaire.

Le point S se nomme sommet , et les droites SD, SD',... sont les génératrices, ou les arêtes du cône.

535. Subfaces de révolution. — Soient une droite fixe XY {fig. a(J3), et une ligne quelconque ABC. Menons, de différents points A, B, C, . . . de cette ligne, des perpendiculaires AA', BB', CC', . . . sur XY. Si nous faisons tourner le système AA'BltCC'. . . autour de XY, chacun des points de la ligne ABC décrira une circonférence ayant son centre sur XY, et dent le plan sera

LIVfiK SEPTIÈME. * a39

perpendiculaire à cette droite; et la ligne ANC engendrera une surface de révolution.

Les circonférences décrites par les différents points de la génératrice ABC sont appelées des parallèles de la surface, parce que leurs plans sont parallèles entre eux.

La section MNP, faite par un plan passant suivant Y axe de rotation XV, est un méridien. ■

Il est facile de s’assurer que tous les méridiens sont égaux entre eux.

536. Supposons que le rectangle ABCD ( fig . a64) tourne autour de son côté CD, supposé fixe. Les droites égales AD, BC engendreront des cercles égaux et parallèles. La droite AB engendrera une surface de révolution ; mais, comme cette droite est toujours parallèle à XY, il s’ensuit que la surface est cylindrique , et que le corps engendré par ABCD est le cylindre droit, à base circulaire. Delà, cette déGnition, adoptée dans les Éléments :

Le cylindre droit , à base circulaire , est le corps engendré par un rectangle tournant autour d'un de ses côtés, supposé fixe.

537. De même, si nous prenons pour génératrice l liypoténuse CB (f‘g- a65) d’un triangle rectangle tournant autour de son côté CA, la surface de révolution deviendra celle du cône droit à base circulaire. Donc,

Le cône droit, à base circulaire, est le corps engendré par un triangle rectangle, tournant autour d'un des côtés de l'angle droit, supposé fixe.