Démontrons d’abord les deux propositions suivantes

i°. Une droite AB (Jig- 279 ) ne peut être plus petite que sa projection A' B' sur un plan MN ;

2 0 . Une droite AB (JigAiSo) est plus petite que la somme de ses projections A' B', A" B", sur deux plans MN, PQ, perpendiculaires entre eux.

i°. Si AB est parallèle à MN, on aura AB = A' B ; et si AB est oblique à MN , on aura , en menant AC parallèle ii A' B, AC < AB; donc, etc.

2 *. Menons par je point A la parallèle A(. a AB*; nous

* ' Googk

..JL — — ‘ . :

a5a GÉOMÉTRIE,

aurons

AB < AC -f BC, on AB < A' B' -+- BC.

Abaissons ensuite, du point C, la perpendiculaire CD sur le plan PQ, et menons A"D, B"D : ces deux droites seront perpendiculaires entre elles (417); donc

B"D < A" B", on BC < A" B".

Ajoutant les deux inégalités, nous obtenons AA < A' B' A" B".

589. Considérant une ligne brisée quelconque, et appliquant à chacun de ses côtés le principe qui précède, nous arriverons à cette conséquence r*

Une ligne brisée est plus petite que la somme de ses projections sur deux plans perpendiculaires.

590. Soit actuellement une courbe quelconque C située dans l'espace, et soient C', C" les projections de C sur deux plans perpendiculaires. Inscrivons, danslacourbeC, une ligne polygonale P, et soient P', P" les projections de P sur les mêmes plans : les polygones P', P" seront inscrits dans les lignes C', C”.

Si, en prenant des sommets intermédiaires sur C, nous remplaçons P par une autre ligne polygonale P, , nous aurons P, > P. De même , les projections F, et P" de P t seront respectivement plus grandes, en périmètre, que

P' et P".

Si nous continuons indéfiniment la même opération, nous obtiendrons une suite indéfinie de polygones P, P, , P,, P 3 ,... inscrits dans C, dont les périmètres augmenteront de plus en plus. En même temps, les périmètres des projections P', P’, , P’, , P’, , . . . tendront vers une limite qui est la longueur de C' (329), et les périmètres de P", P’ , P*. ,... tendront vers la longueur l" de