I.1VKE SEP! I KM F

afjî

Donc , comme on a toujours

Pi < P 1 , + P"i < /'

les périmètres P, P,, P,, . . . tendent vers une limite l, moindre que l -H l" : cette limite est ce que nous conviendrons d’appeler longueur de la courbe C.

591. De cette définition, on déduit les conséquences suivantes :

,t°. Une droite finie est plus petite que toute ligne, terminée aux mêmes extrémités (328, i° ) ;

2 °. Le plus court chemin entre deux points est la droite finie \pti joint ces deux points (332) ;

3°. Le plus court chemin d'un point à un plan est la perpendiculaire ahaissee de ce point sur le plan ;

4°. Le plus court chemin entre deux plans parallèles est la perpendiculaire commune terminée à ces deux plans ;

5°. Le plus court chemin entre deux droites non situées dans un même plan est la commune perpendiculaire terminée à ces deux droites; Wr. jfé-.

Etc.

592. Remarque. — Les trois dernières propositions justifient la dénomination de distance que nous avons employée pour indiquer la perpendiculaire abaissée d’un point sur un plan, ou la perpendiculaire commune à deux plans, etc. Les deux premières propositions, qui n’en forment réellement qu’une, s’énoncent encore de cette manière: la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.

Après ces préliminaires essentiels, revenons à la sphère.