i er Lemme. — Sur une même sphère, ou sur des

- big ( feèrfby Coo£l&

C'.KOWl'TUli:.

sphères égales, les lignes les plus cour/es, rie deux points, pris sur deux circonférences égales, aux pôles de. ces circonférences , sont égales entre elles.

Soient 1rs deux sphères égales O, O’ (ftg. 281 ), les circonférences égales AB, A1V, enfin les pôles P, P' de ees deux circonférences, ces pôles étant situés de la meme manière par rapport à celles-ci.

Transportons la seconde sphère sur la première, de manière nue le rayon O' P coïncide avec le rayon OP, et qu’en même temps le plan C P'O' coïncide avec le plan CPO. Alors les deux surfaces coïncideront, ainsi que les deux points C', C. Donc, quelle que soit la ligue PDC tracée entre P et C sur la première sphère , on pourra concevoir sur la seconde sphère une ligue P I) C' égale à PDC. Et si l'on suppose que la ligne PDC soit la plus petite de toutes celles qui joignent les points P et C ; comme les sphères coïncident, la ligue P’D'C' sera la plus petite parmi celles qui joignent P et C'. Donc, etc.

On conclut de là que , sur la même sphère, les plus courts chemins de deux points C , E au pôle P d'une circonférence passant par ces deux points, sont égaux entre eux.

594. 1 '' Lcniinc. — Sur une même sphère, la ligne la plus courte entre une circonférence et son pôle augmente avec la distance du pôle au plan de cette circonférence .

En effet, le plus court chemin de P en D (fg. 282 ) se compose du plus court chemin de P en E, augmenté du plus court chemin de E en D. Mais les plus courts chemins de P en C et de P en E sont égaux ", donc , etc.

TiiÉonfcME XXI

595. Le plus court chemin sur la sphère, entre deux points A, B ( fig- a83), est l'arc de grand cercle ACB qui joint ces deux" points.

l.lVlU SEl'llKME. ’ a55

Soit, s’il est possible, AMB le plus court chemin entre V et H. Joignons un point quelconque M de AMB aux points A, B, par des arcs de grands cercles RDM, AEM. Dans le triangle sphérique AMR, le côte AC B est plus |>etit que la somme des deux autres (509). Si donc, du point B comme pôle, uons décrivons un arc MM', nous aurons AM AEM.

D’après le premier lemme, le plus court chemin de B en M' égale le plus court chemin de B en IM; et, d’après le deuxième lemme , le plus court chemin de A en AI' est plus petit que le plus court chemin de A en M. Donc, la somme des lignes BnMr, M'GA est plus petite que AMB; donc cette dernière ligne n’est pas le plus court chemin entre A et B: ce qui est contre l'hypothèse.