POLYÈDRES RÉGULIERS

596. Ou appelle polyèdre régulier celui dont toutes les laces sont des polygones réguliers égaux, cl dont tous les angles polyèdres sont égaux.

Théorème XXII.

597. On peut toujours construire , avec un côté donné, un tétraèdre régulier.

Avec le côte donné, traçons un triangle équilatéral ABC (ftg- 284). Par le centre Ode ce triangle, élevons une perpendiculaire indéfinie, et prenons sur cette droite un point D tel, que AD = AB. Menons ensuite BD et CD.

Le tétraèdre A15CD est régulier, car toutes ses arêtes sont égales entre elles. Donc ,■* etc.

Théorème XXIII.

598. On peut toujours construire, avec un côté donné,' un hexaèdre règidier.

Avec le côté donné, construisons un carré ABCD ( ftg . 280). Élevons, sur les côtés du carré, des plans qui

lui soient perpendiculaires ; puis coupons ceux-ci par un plan EFGIl parallèle à ABCD, et qui en soit distant d’une quantité AE = AB. Nous obtiendrons ainsi un cube ou hexaèdre régulier.

Tuéokème xxrv.

599. On peut toujours construire, avec un côté donné, un octaèdre régulier.

Avec le côté donné, traçons un carré ABCI) ( fig . a86). Elevons, par le centre O, la perpendiculaire EF au plan ABCD, et prenons OE = OF = OA. Joignons enfin les points E, F aux sommets du carré. La figure ABCDEF sera un octaèdre régulier.

En effet, la droite EF est l’axe du cercle circonscrit au carré ABCD; doncEA = EB =. . .= AB. Ainsi, toutes les faces de l’octaèdre sont dés triangles équilatéraux , égaux entre eux.

De plus, les angles polyèdres sont égaux; car* si nous considérons, par exemple, les angles A et E, nous voyons qu’ils appartiennent aux deux pyramides régulières ABEDF, EABCD. Ces deux pyramides sont évidemment superposables, comme ayant même base et même hauteur. Doue, etc.

TnÉonÈME XXV.

600. On peut toujours construire, avec un côté donné, un dodécaèdre régulier.

Avec le côté donné, formons des pentagones réguliers, égaux entre eux. Assemblons trois de ces pentagones , de manière que leurs plans déterminent un angle trièdre ayant pour sommet le point A {fig. 287). Les faces de cet angle étant égales entre elles, les angles dièdres, formés par ces faces, seront égaux entre eux (455). Consé-

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qucmmcnt ,. les angles trièdçes, B et A sont égaux entre eux, comme ayant un angle dièdre égal , compris/ entre deux faces égales, chacune à chacune, et semblablement disposées. Donc, les deux droites HH, BC forment entre elles un angle égal à ABC.

Il résulte de là qu après avoir assemblé, autour du point A, trois de nos pentagones réguliers, nous pourrons en rapporter un quatrième dans l’angle HfiT p U j s un cinquième dans l’angle KCD, etc. Nous ôbliendrons ainsi une surface polvédrale, ouverte suivant le contour FGHI. . ! .'**

Actuellement, construisons une autre surface égale à la première ( fig . 288), et rapprochons ces deux figures, de manière que l’angle rentrant Imn coïncide avec l’angle saillant FGH. Alors l'angle trièdreGscra égal à chacun des angles triedres A, B,..., et l’angle dièdre avant pour faces mnp, GHB, et pour arête GH, sera égal à l’angle dièdre ayant pour faces GHI, GHB, et pour arête GH. Doue np coïncidera avec HJ, puis j>q avec IK; etc.

On voit ainsi que l’ensemble des deux surfaces polyédrales déterminera une ligure fermée ayant pour faces douze pentagones réguliers égaux, et dont les angles polyèdres sont égaux entre eux; donc, etc.

TllÉOnÈMF. XXVI.

601 . On peut toujours construire, avec un côte donné, un icosaèdre régulier.

Avec le cêté donne , construisons un pentagone régulier MNPQK (fig. 289). Par le centre O, élevons, au plan du pentagone, une perpendiculaire OS telle, que MS = MN .

Joignons le poiut S à tous les sommets du pentagone : nous obtiendrons une pyramide régulière dans laquelle les faces seront dés triangles équilatéraux égaux entre eux.

GIvOMIÎTRIE.

Soit maintenant le triaçgle équilatéral ABC (fig. 290),» dont le côté est égal à MN/

Construisons , en chacun des sommets de ce triangle , une pyramide égale à S, en prenant, pour l’une des faces de cette pyramide, le triangle ABC.

Il est facile de voir que nous déterminerons ainsi mie surface polyédrale, ouverte suivant DEFGHI, et dans laquelle l’angle rentrant DEF est égal à l’angle saillant EFG, attendu que chacun d'eux est égal à l’angle EAG. ^

Si donc nous concevons une seconde surface égale à la première, nous pourrons faire coïncider ces deux figures suivant leurs bords, etc.

Théorème \\\11, . f