LIVRE SEPTIEME

quelconque de polygones réguliers dans lesquels le nombre des côtés surpasserait cinq. • * * ' «>‘*

Donc , etc. » 1 ,*

TnéonÈME XXVIII.

603. Tout polyèdre régulier est, i° inscriptib/c A une sphère ; a° circonscriptible a une sphère.

i°. Considérons deux faces adjacentes A et B, et l’arête qui leur est commune. Menons , par les centres de ces faces, des perpendiculaires sur leurs plans respectifs, et des perpendiculaires à Barète. Les deux dernières se coupent au milieu de cette droite; donc les perpendiculaires aux deux faces sont situées dans uii même plan , perpendiculaire au milieu de l'arête commune; donc elles" se rencontrent en un point O , également éloigné de tous les sommets des faces A, B; et elles forment, avec les deux autres perpendiculaires, un quadrilatère ayant deux angles droits.

Soit actuellement une troisième face C, adjacente à l’une des deux premières; si l’on répète, sur celle-ci et sur la face C, la construction précédente, on obtiendra un point O', coïncidant avec O, attendu que les deux quadrilatères sont égaux.

11 résulte de là que le point O est également distant des sommets de A, B; C. En continuant, on verra qu’il est également distant de tous les sommets ; donc ce point est le centre d’une sphère circonscrite au polyèdre régulier.

a°. D’après ce que l’on vient fie voir, le point O est également distant de deux faces adjacentes quelconques, et, par suite, également distant de toutes les faces. Donc ce point est le centre d’une sphère inscrite au polyèdre.