DE LA SYMÉTRIE DES FIGURES

000. Deux points sont symétriques par rapport à un troisième, nommé centre de symétrie , lorsque celui-ci divise en deux parties égales la droite qui joint les deux premiers.

007. Deux points sont symétriques par rapport à une droite ou à un plan, lorsque cette droite ou ce plan, qu’on appelle axe de symétrie, plan de symétrie , est perpendiculaire au milieu de la droite qui joint les deux points.

008. Deux figures sont symétriques par rapport à un ))oint, à une droite ou à un plan, lorsqu’un point quelconque de la première figure a son point symétrique , situé dans la seconde.

Théorème 1.

009. Deux figures , symétriques par rapport à une droite XY (Jig. 291 ), sont égales entre elles.

Soient A, II, C, ... les points de la première figure, et soient A', 11', C, ... les points de la seconde figure, symétriques des premiers. Menons AA', HI1', CC', ... : d’a- . près la définition, ces droites doivent être (rencontrées en leurs milieux a, b, c, . . . par l’axe de symétrie XY, qui est perpendiculaire à chacune d’elles.’

Taisons tourner la première figure autour de XY :

GKOMÉTKIE.

dans ce mouvement, les droites A a, lift, Ce,..., cjue l’on suppose liées invariablement, décriront, dans le môme temps, des secteurs semblables; donc, lorsque le point A coïncidera avec A', les points B, C,... coïncideront avec B', C', ... ; donc les deux figures sont égales.

610. Il résulte, de ce théorème, que deux figures symétriques par rapport à une droite, ne jouissent d’aucune propriété particulière : c’est pourquoi nous nous occuperons seulement de la symétrie relative, soit à un point, soit à un plan.

1 TilÉORÈMB II. • •

611. Si trois points sont en ligne droite, leurs symétriques, par rapport à un point ou à un plan, sont en ligne droite.

1°. Soient A, B, C ( jig . 29a) trois points supposés en ligne droite, et soient A', B', C' leurs symétriques relativement au centre O. Menons A' B' et B'C'.

Les triangles ABO, A' B'O sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux , chacun à chacun ; donc, angle ABO = angle A' B'O. De même, angle CBO =;angle C'B'O. Mais comme ABC est une igné droite , les points A', 1?, C' sont dans le plan OABC, et les angles en B sont supplémentaires; donc les deux angles en B' le sont pareillement; etc.

2 0 . Soient maintenant les trois points A , B, C (Jig- 293), situés en ligne droite, et soient A', B', C' leurs symétriques par rapport à un plan MN. Tous ces points seront dans un même plan perpendiculaire à MN (392), et qui coupera celui-ci suivant une droite abc, projection de ABC. Il suit de là que les figures ABC et A'B'C' sont symétriques par rapport ;t aftr; donc, la première

1,1 V Ri: SEPTIÈME. a63

figure étant une droite, la seconde en sera pareillement une.

612. I er Corollaire. — Le symétrique d'une droite est une droite égale à la première.

613. 2 e Corollaire. — Deux droites symétriques coupent en un même point leur plan de symétrie, ou elles sont parallèles à ce plan.

61 4. 3' Corollaire. — Le symétrique d'un triangle est un triangle égal au premier. *

613. 4 e Corollaire. — Le symétrique d un angle est un angle égal au premier.

• V' % m ** e M ' *»." TM- .

âü .

Théorème III.

616. Si quatre points A, B, C, D sont dans un meme plan , leurs symétriques A', B', C', IS par rapport à un point O, ou à un plan MN, sont dans un meme plan.

i°. 'Menons AC et A'C' (Jig . a 94 ): les deux angles trièdres OABC, OA'B'C', formés par les droites CO, CA, CB et C'O, C'A', CIV, ont, d’après le quatrième corollaire de la proposition précédente, leurs faces respectivement égales; donc (433) l’angle dièdre OACB est égal à l’angle dièdre OA'C'B'. De même, angle OACD =± angle OA'C'D’. Or, les deux angles dièdres suivant AC sont supplémentaires, donc les deux autres le sont aussi , et les deux faces A'C'B, A'C'D' sont dans un même plan.

2 0 . Les deux angles trièdres AQCc, A D'C'c (Jig. 298 ) ont leurs faces égales, chacune à chacune. Donc, etc.

617. I er Corollaire. — Le symétrique d'un plan est un autre plan.